[理学]数学建模-微分方程模型.ppt

四、捕食问题 2 dx/dt x 0 xm xm/2 xm t x 0 x(t)~S形曲线, x增加先快后慢 xm/2 这个模型称为阻滞增长模型(Logistic模型)： Logistic曲线 参数估计 用指数增长模型或阻滞增长模型作人口 预报，必须先估计模型参数 r 或 r, xm 利用统计数据用最小二乘法作拟合 例：美国人口数据（单位~百万） 1860 1870 1880 …… 1960 1970 1980 1990 31.4 38.6 50.2 …… 179.3 204.0 226.5 251.4 阻滞增长模型(Logistic模型) r=0.2557, xm=392.1 r=0.2557, xm=392.1 模型检验 用模型计算2000年美国人口，与实际数据比较 实际为281.4 (百万) 模型应用——预报美国2010年的人口 加入2000年人口数据后重新估计模型参数 阻滞增长模型(Logistic模型) r=0.2490, xm=434.0 x(2010)=306.0 3.06188亿（2009年，世界国家和地区第3名，次于中国、印度） 人口密度31人/平方公里（世界国家和地区第177名）。 三、传染病模型 问题： 描述传染病的传播过程 分析受感染人数的变化规律 预报传染病高潮到来的时刻 预防传染病蔓延的手段 按照传播过程的一般规律，用机理分析方法建立模型 已感染人数 (infective) i(t) 每个病人每天有效接触(足以使人致病)人数为? 模型1 假设： 若有效接触的是病人，则不能使病人数增加 必须区分已感染者(病人)和未感染者(健康人) 建模： ? 模型2 区分已感染者(infective)和未感染者(susceptible) 假设： 1）总人数N不变，病人和健康 人的 比例分别为 2）每个病人每天有效接触人数为?, 且使接触的健康人致病 建模： ? ~ 日 接触率 SI 模型 模型2 1/2 tm i i0 1 0 t tm~传染病高潮到来时刻 ? (日接触率)? ? tm? Logistic 模型 病人可以治愈！ ? t=tm, di/dt 最大 卫生水平 模型3 传染病无免疫性——病人治愈成为健康人，健康人可再次被感染 增加假设： SIS 模型 3）病人每天治愈的比例为? ? ~日治愈率 建模： ? ~ 日接触率 1/? ~感染期，或患病期 ? ~ 一个感染期内每个病人的有效接触人数，称为接触数。 模型3 i0 i0 接触数? =1 ~ 阈值 感染期内有效接触感染的健康者人数不超过病人数 1-1/? i0 模型2(SI模型)如何看作模型3(SIS模型)的特例 i di/dt 0 1 ? 1 0 t i ? 1 1-1/? i 0 t ? ?1 di/dt 0 模型4 传染病有免疫性——病人治愈后即移出感染系统，称移出者(Removed) SIR模型 假设： 1）总人数N不变，病人、健康人和移出者的比例分别为 2）病人的日接触率? , 日治愈率?, 接触数 ? = ? / ? 建模： 需建立 的两个方程 对移出者 模型4 SIR模型 无法求出 的解析解 模型4 消去dt SIR模型 相轨线 的定义域 相轨线 1 1 s i 0 D 在D内作相轨线 的图形，进行分析 s i 1 0 1 D 模型4 SIR模型 相轨线 及其分析 传染病蔓延 传染病不蔓延 s(t)单调减?相轨线的方向 P1 s0 im P1: s01/ ? i(t)先升后降至0 P2: s01/ ? i(t)单调降至0 1/ ~阈值 P3 P4 P2 S0 模型4 SIR模型 预防传染病蔓延的手段 ? (日接触率)? ? 卫生水平? ?(日治愈率)? ? 医疗水平? 传染病不蔓延的条件——s01/? ? 的估计 降低 s0 提高 r0 提高阈值 1/? 降低 ?(=?/?) ? ?, ? ? 群体免疫 模型4 SIR模型 被传染人数的估计 记被传染人数比例 xs0 i 0 P1 ? i0 ?0, s0 ?1 ? 小, s0 ? ?1 提高阈值1/? ?降低被传染人数比例 x s0 - 1/? = ? 意大利生物学家D’Ancona曾致力于鱼类种群相互制约关系的研究，在研究过程中他无意中发现了一些第一次世界大战期间地中海沿岸港口捕获的几种鱼类占捕获总量百分比的资料，从这些资料中他发现各种软骨掠肉鱼，如鲨鱼、鳐鱼