[理学]数学建模第一讲：对变化建模.ppt

8——循环 什么模式都没有，不可能预测长期趋势。这种现象称为混沌 总结：对于一个由差分建立的动力系统，我们要： 求出平衡点，然后从平衡点附近的起始值进行探究。从一个靠近平衡点的起始值开始，我们要知道该系统是否： a、仍然靠近平衡点 b、趋近于该平衡点 平衡点附近会发生什么将提供对该系统的长期趋势的洞察。 c、不再靠近平衡点 b、建模中用到的比例常数的微小变化 敏感吗？ 例如：该动力系统有周期行为吗？有震荡行为吗？由数值解描述的长期趋势，对 a：初始条件 * * * * 电话引言 为了更好的了解世界，人们常常用数学（如函数或方程）来描述某种特定的现象，称为数学模型。 数学模型是现实世界的理想化，但永远不会精确表示现实世界。 尽管任何模型都有局限性，但好的模型能够提供有价值的结果和结论。 第一章 对变化建模 数学模型 实际问题的数据 模型 预测、解释 数学结论 简化 分析 阐明 验证 数学模型可以看作是为了研究一种特定的实际系统而设计的数学结构。从模型中，可以得出一些数学结论，帮助决策者规划未来。 简化： 定义：两个变量y和x是成比例的，如果一个变量总是另一个变量的常数倍。即： 如果对某个非零常数k，有 记为： 两个变量成比例的验证方法：图形近似位于通过原点的直线上。 多数模型对实际问题进行了简化。一般情况下，模型只能近似表示现实对象。一种强有力的简化关系是比例性。 例1：测试的比例性 关于弹簧的伸长和弹簧末端质量，收集到如下数据： 4.38 3.25 2.75 1.88 1 e 250 200 150 100 50 m 8.75 8.00 7.25 6.50 5.68 4.88 550 500 450 400 350 300 e 拟合出k=0.01625 于是建立估算模型：e=0.01625m 弹簧伸长对于末端的质量的散点图是过原点的一条近似直线，比例的假设是合理的。 然后把该模型的直线图形画到散点图上，观察拟合效果。 图中显示这个简化的比例模型是合理的。 未来值=现在值+变化 变化=未来值-现在值 而对于变化，先可以按照如下公式来研究 对变化进行建模 如果变化是在“离散时间段”上发生，可以构成差分方程。 如果变化在“连续时间段”上发生，可以构成微分方程。 预测未来的范例是： 也就是说，根据现在知道的东西加上变化，可以预测未来。 根据收集的数据，识别出变化趋势的模式，就可以预测未来值 这两者都是描述和预测行为变化的强有力的方法。 本章学习差分方程 1.1、用差分方程对变化进行建模 定义：数列 一阶差分是 对于正整数n，第n个一阶差分是 差分表示在一个时间周期里考察对象的变化量。 下标n通常代表时间 (n+1)-n=一个时间周期 例1 储蓄存单考虑一个1000元的储蓄存单在单月利率1%的条件下的累积价值。 用数列表示该储蓄单逐月的价值为： A={1000，1010，1020.10，1030.30……} 一阶差分为： 注：一阶差分表示在一个时间周期里数值的变化。此例中表示所得的利息。 第n月价值的变化(利息的增长）表示为: 这个表达式改写为： 于是得出模型： 以上模型表示无穷多个代数方程，称为动力系统。 上例中，如果每月要从账户中提取50元，则一个周期里存款 的变化为： 我们需要找出描述变化的这一函数 f。这个函数往往不像上面的例子那样精确，常常需要画出图形，观察模式，然后用数学术语来描述。 变化= = 某一个函数 f 描述变化的函数 f 可以是前一项的的函数（没有月提款的情形），也可能包含外来项（如提款数，或关于n的表达式等）。 通过表示或近似表示从一个周期到下一个周期的变化，可以构建差分方程。如： 即：该周期的利息减去月提款。 一般情况下，差分方程为： 1.2、用差分方程近似描述变化 离散变化与连续变化 有些变化是在离散时间区间上发生，有些变化是连续的发生。差分方程表示离散时间区间上变化的情形，也用来近似描述连续变化。 例1:(酵母培养物的成长)下表数据是从测量酵母培养物增长的试验中收集来的。 257.3 7 82.7 174.6 6 55.5 119.1 5 48.0 71.1 4 23.9 47.2 3 18.2 29.0 2 10.7 18.3 1 8.7 9.6 0 数量变化Pn+1-pn 酵母数量pn 时间(小时)n pn 生物变化量 生物量 生物变化对生物量 图形显示：可以假定种群变化与种群大小成比例 用一条过原点的直线来近似，拟合出直线斜率k=0.5。 预测出： 这个模型预测出种群总是生长，与事实不符。 于是，模型为： 模型的改进：对出生、死亡和资源的建模 由于资源的限制，种群数量接近最大限度时，增长就会慢下