[理学]数学物理方程与特殊函数课件ppt6.ppt

Email: yc517922@126.com; 分离变量法是求解各种类型偏微分方程定解问题的典型方法之一。包括各类典型方程的初值、边值与混合问题。 要求熟练掌握。;;一维波动与热传导定解问题分离变量求解;齐次弦振动方程的混合问题求解;;设方程(1)具有可以分离变量的解 :;欲使(5)成立，等式两端必须为常数。于是，令：;(1) 当 时 ;(2). 当 时 ;注：对于参数λ的某些值，问题(8),(9)的非平凡解存在，称这种λ值为固有值(本征值)；同时称相应的非平凡解X(x)为固有函数(本征函数)；求解固有值和固有函数的问题称为固有值问题(本征值问题)。;由(7)还可得：;(13)是满足方程和边界条件的特解，但不满足初始条件。由于方程与边界条件是线性的，因此，由叠加原理2，下面表达式仍然满足方程和边界条件。;将 在[0,L]上按奇式傅里叶展开得：;1、分离变量;例1 求下面定解问题;得：;(2). 当 时 ;所以，固有值为：;4、一般解为：;例2. 两端固定的弦长为l，用细棒敲击弦上x=x0 点处，亦即在点 x=x0 施加冲量，设其冲量为I 。求解弦的振动。;由初始条件得：;例3. 求解如下定解问题;欲使关于V(x,t)的定解问题可分离变量，W(x)要满足：;由分离变量得定解问题的一般解为：;(二)、热传导方程混合问题分离变量解法;解：1、分离变量;(1). 当 时，特征值问题无非零;固有函数为： ;利用叠加原理，得一般解为： ;例2 设有一条长为2L、温度为零的均匀杆，其两端与侧面都绝热。现在用一个火焰集中在杆的中点烧它一下，使传给杆的热量恰好等于 cρ(设c为杆的比热，ρ为线密度）。求杆上的温度分布。 ;解：1、分离变量;(1) 当 时 ;(2). 当 时 ;求出Tn(t)后得一般解为：;于是得：;作业;Thank You !