[理学]数学物理方法学习指导.doc

第五章 傅里叶变换 内容：傅里叶级数、傅立叶积分和傅里叶变换及其基本性质，δ函数 要求：了解的傅立叶级数、傅立叶积分和傅里叶变换基本概念及其应用，重点掌握定义在有限区间上函数的傅里叶级数展开和δ函数 §5-1 傅里叶级数 一、周期函数的傅里叶展开（简介） 1．三角函数（正弦和余弦函数）族的正交性 1，，，…，…；　，，…，，… 2、周期函数的展开为傅里叶级数 以2l为周期， 　　　　　　（5.1.1） 取上述三角函数族作为基本函数族展开为级数 　　　　　　（5.1.2） 称为傅里叶级数 两个问题： （1）傅里叶级数中的系数； 　 验证性证明：（5.1.2）两边同乘或再从-l到l积分， （2）级数的收敛性。 收敛定理（狄里希利条件）：设函数是以2l为周期的周期函数，如果它满足： 若函数 满足： （1）在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点（非无穷间断点）； （2）在一个周期内至多只有有限个极值点； 则的傅里叶级数收敛，且 当x是的连续点，级数收敛于； 当x是的间断点，级数收敛于付。 3、傅里叶级数的物理意义 ， 随时间变化的周期信号展开为不同频率的简谐振动的叠加。 例1（自学）交流电压，经过半波整流，负圧被削减，在一个周期内 试研究半波整流电压的傅里叶变换级数 要区分k=1和两种情况， 二、奇函数和偶函数的傅里叶展开（简介） 1．奇函数的傅里叶展开 若周期函数是奇函数 这叫作傅里叶正弦级数。 例2（自学）　设函数是以2l为周期的周期函数，它在[-l, l]上的表达式为 将展开为傅里叶级数 解：是奇函数 时，级数收敛于 例3　锯齿波在[-l, l]上的表达式为 将展开为傅里叶级数 解： 2．偶函数的傅里叶展开 若周期函数是偶函数 这叫作傅里叶余弦级数。 例4　三角波在[-l, l]上的表达式为 将展开为傅里叶级数 解： 三、定义在有限区间上函数的傅里叶展开（重点） 函数只在某个有限区间，如区间（0, l）有定义，在区间以外无定义。 周期性延拓　扩大函数的定义区间，使其成为某种周期函数，在区间（0, l）上，，对作傅里叶级数展开，这个级数在区间（0, l）上代表。延拓的方法可以有无数种。可根据对函数在边界（区间（0, l）的端点）上的行为提出限制。 奇延拓，当边界上要求，取为奇的周期函数，展开为傅里叶正弦级数。，， 偶延拓，当边界上要求，取为偶的周期函数，展开为傅里叶余弦级数。 ，　　　 ，　 例5　在区间（0, l）定义的函数是，试根据边界条件要求： (1)； (2) ； (3) ； (4) 把它展开为傅里叶级数。 解：(1)，作周期性奇延拓， 在[-l, l]上的表达式为 与例3相同的锯齿波相同 (2) ，作周期性偶延拓， 在[-l, l]上的表达式为 与例4相同的三角波相同 (3) （难点） 要求以为中心作偶延拓， 要求以为中心作奇延拓， 以4l为周期，在整个数轴上延拓为偶函数，，同时又满足 在本例中　　 对于本例 (4) （难点） 要求以为中心作奇延拓， 要求以为中心作奇延拓， 以4l为周期，在整个数轴上延拓为奇函数，，同时又满足 可以证明，满足要求，其中 对于本例 注意：在本例中（2）的结果也满足（4）的要求，但这只是对函数的巧合，换成其它函数，如，则就不行了。 四、复数形式的傅里叶级数（简介） 复指数函数族 5-3 ?函数 一、??函数的定义 问题：怎样用数学函数表示质点的质量密度、点电荷的电荷密度、瞬时力的冲量密度？ 例如，均质细杆，质量为m均匀分布在长为l的线段[-l/2, l/2]上，则其密度可表示为 m=1,　 杆的质量 时，细杆变为处的质点，其密度 质点在处， 二、函数的主要性质 （1）是偶函数 （2）阶跃函数与 （3）函数的挑选性 （4）用函数表示连续分布的物理量 到短时间段上的瞬时作用力记为 时间区间[a, b]上的持续力 （5）函数的定标性 证　　　 三、函数是一种广义函数  数学物理方程 数学物理方程——从物理问题中导出的数学偏微分方程，有时也包括积分方程、微分积分方程 。 本课程介绍物理学中常见的三类偏微分方程及有关定解问题和这些问题几种常用解法。这三类偏微分方程是： 波动方程 输运方程 稳定的场方程 第七章 数学物理定解问题 教学目的：掌握根据物理规律和物理现象导出数学物理方程，写出定解条件的方法。 教学内容：1.导出数学物理方程，包括 1)波动方程(均匀弦横向振动和均质杆纵向振动)；2)输运方程(扩散、热传导现象)；3)稳定场分布方程。(2课时) 2．定解条件，1)初始条件；2)边界条件(第一、二、三类)。(1.5课时) 3. 达朗贝尔公式(简介)。(0.5课时) 重点：导出数学物理方程, 第一、二类边界条件。 难点：边界条件，方程中各偏导