[理学]数理方程ppt7.ppt

代入方程整理后得： 得关于时空的微分方程： 2. 作空间变量的分离 ： 代入方程(2)整理后得： * * Email: yc517922@126.com 数理方程与特殊函数 任课教师：杨春 应用数学学院 高维定解问题分离变量求解 本次课主要内容 (一)、二维圆域定解问题分离变量求解 (二)、高维混合问题分离变量求解 一个半径为ρ0 的薄圆盘，上下两面绝热，圆周边缘温度分布为已知，求达到稳恒状态时圆盘内的温度分布。 (一)、二维圆域定解问题分离变量求解 主要讨论圆域内拉普拉斯方程求解 分析:(1)这是一个稳态问题，所以温度分布满足拉普拉斯方程： 边界条件为： 引进极坐标变换： 方程与边界条件变换为： (2) 圆盘中心温度有限，于是有： (3) (ρ,θ)与(ρ,θ+2π)是圆盘上同一点，于是有： 解：定解问题为： 1、分离变量： (5)代入(1)得： 整理后可令比值为λ： 得两个常微分方程如下： 如何构造固有值问题？ 2、求解固有值问题 (1) λ0时，只有平凡解； (2) λ=0时， (3) λ0时，令λ=β2 得： 结合周期条件，β只能取正整数。于是得固有值： 固有函数为： 3、求方程(7)的解 方程(7)是二阶欧拉方程，结合有限条件有： (1)、对应于λ0= 0，(7)的解为： 由(8)得：D=0,于是有： (2)、对应于λn= n2(n=1,2….) 作变换：ρ=et,(7)变为： (7)的解为： 由(8)得：Dn=0,于是有： 4、求定解 (9)与(10)可以统一写为： 一般解为： 由边界条件(2)得： 由傅立叶级数展开公式有： 代入整理后得定解形式为： 例1 求定解问题 ： 解：这是圆域上拉普拉斯方程狄氏问题 分离变量得一般解为： 由边界条件得： 由傅立叶展开公式得： 所以定解为： 注：圆域、扇形域等圆弧形边界围城的区域上的定解问题分离变量求解，要在极坐标下进行。求解时要注意自然条件的使用。 例2 在扇形域{0θα,0ρρ0}上求定解问题： 解：1、分离变量： (5)代入(1)得： 整理后可令比值为λ： 得两个常微分方程如下： 如何构造固有值问题？ 2、求解固有值问题 于是得固有值： 固有函数为： 3、求方程(7)的解 方程(7)是二阶欧拉方程，结合有限条件有： (7)的解为： 4、一般解为： 由另一边界条件(2)得： 将f(θ)在[0,α]上按奇式展开得： 所以定解为： 例3 半径为b的“无限长”圆柱形接地导体，放置在均匀外电场 E0 中，圆柱的轴线与E0 方向垂直。求电势分布 分析：这是一个稳态场问题。 (1)、由于圆柱形接地导体“无限长”，因此柱内外电势与Z无关； (2)、因外电场方向与x轴正向一致 所以，可用一个电位函数φ0=-E0x 表示，即：φ0=-E0ρcosθ (3)、在无穷远处，柱面上的感应电荷产生的影响已经不存在，所以有： 参看《电磁场与电磁波》第三版 谢处方等。 P84 例4.2.1 (高等教育出版社) 解：定解问题为： 1、分离变量得两个常微分方程如下： 2、求解固有值问题 (1) λ0时，只有平凡解； (2) λ=0时， (3) λ0时，令λ=β2 得： 结合周期条件，β只能取正整数。于是得固有值： 固有函数为： 3、求欧拉方程的解 (1)、对应于λ0= 0，解为： 由边界条件得： (2)、对应于λn= n2(n=1,2….)，解为： 由边界条件得： 4、求定解 所以，得： 一般解为： 由无穷远条件得： 基本步骤是： 1. 时空变量的分离： (二)、高维混合问题分离变量求解 2. 空间变量的分离 ： 3. 求解固有值问题 4. 求解关于T(t)的常微分方程 5. 构造叠加解并求出定解。 例1 求定解问题： 解： 1. 时空变量的分离：