[理学]文科高数下1-3 行列式的性质.ppt

二、应用举例 三、小结 第三节 行列式的性质 行列式的性质 二. 应用举例 三. 小结与思考题 一、行列式的性质 行列式 称为行列式 的转置行列式. 记 非主对角线上元素关于主对角线对称互换. 或行变为列, 列变为行. 性质2 互换行列式的两行(列),行列式变号. 说明 行列式中行与列具有同等的地位, 因此行列式的性质中,凡是对行成立的性质对列也同样成立. 性质1 行列式与它的转置行列式相等. 例如 推论 如果行列式有两行(列)完全相同，则此行列式的值为零. 证明 互换相同的两行，有 交换两行记作： ,交换两列记作： 性质3 行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同一数 ，等于用数 乘此行列式. 推论　行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提取到行列式符号的外面． 注意记号 注意： 性质４　行列式中如果有两行(列)元素成对应比例，则此行列式为零． 证明 性质5　若行列式的某一列(行)的元素都是两数之和. 则D等于下列两个行列式之和： 例如 注意 性质5说明，当行列式的某一行(或列)可以写为两个元素之和时，则行列式可以关于该行(或列)拆分为的两个行列式之和.而其余的元素不变. 若行列式的所有元素均可写为两个元素之和,则此行列式可分解为几个行列式之和呢? 问题： 例如：对二阶行列式 此种二阶行列式展开有 项， 若n阶行列式的每个元素均可写为两个元素之和，则它可分解为 个行列式. 例题：计算行列式 解一： 可以按照三阶行列式的对角线法则进行计算. 解二： 也可以利用性质5，把第二行看作两元素之和，再分解成两个行列式，这样方便一点. 性质６　把行列式的某一列(行)的各元素乘以同一个数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式的值不变． 例如 复习：行列式关于行和列的三种重要变换 行运算 列运算 注意：第三种变换写法和读法的先后顺序. 例如 计算行列式常用方法：利用变换　　　把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值． 解 总结: 行列式化为上三角的步骤是: 例 解 分析 目的是把它化为上三角或下三角行列式，但 不是1，在利用性质时会出现分数，于是可以利用性质把1换到 处，注意，每换一次要变号. 然后化为上三角 例 计算n阶行列式 解 将第2，3，4列都加到第一列上去，得 注意特点. 解 将第 列都加到第一列得 例 计算n阶行列式 例 分析 特点：第一列元素全相同，可以先用第一列第一个元素把第一列其他元素约为0. 目的是化为上三角或下三角行列式 解 ■