[理学]曲、线面积分习题.ppt

第十章 曲线积分与曲面积分 一、曲线积分的计算法 二、曲面积分的计算法 三、例题选讲 * 目录 下页 返回 结束 习题课 例题选讲 基本内容 1.基本方法 曲线积分 第一类 (对弧长) 第二类 (对坐标) (1) 统一积分变量 转化 定积分 用参数方程 用直角坐标方程 用极坐标方程 (2) 确定积分上下限 第一类:下小上大 第二类:下始上终 首页 上页 下页 返回 结束 (1) 写出曲线L方程及相应弧微分公式ds ① L为参数方程: ② L为直角坐标方程： ③ L为极坐标方程： 对弧长的曲线积分解题步骤： 首页 上页 下页 返回 结束 (2) 将L的表达式及弧微分公式直接代入曲线积分式, 化为定积分, 定出积分限.(注:下限小于上限) L为参数方程 L为直角坐标方程 L为极坐标方程 首页 上页 下页 返回 结束 (1) 直接化为对参变量的定积分 对坐标的曲线积分计算方法： 注: 下限对起点, 上限对终点 首页 上页 下页 返回 结束 (2) 利用积分与路径无关的条件 若 , 则积分只与L的起点与终点有关,故可选取便于计算的路径,如折线段、圆弧段、直线段(结合P、Q考虑). (3) 利用格林公式(适用于封闭曲线)化为定积分. 注: 若曲线L不是封闭的,直接计算又困难, 可考虑添加 辅助曲线C, 使L+C为封闭曲线, 再利用格林公式. 首页 上页 下页 返回 结束 (4) 利用斯托克斯公式(适用空间封闭曲线积分). 利用行列式记号可记为： 首页 上页 下页 返回 结束 或： 注: 格林公式(斯托克斯公式)反映的是平面闭区域 D(空间曲面Σ)上重积分(曲面积分)与边界曲线 上曲线积分之关系. 首页 上页 下页 返回 结束 (1) 利用对称性简化计算; (2) 利用积分与路径无关的等价条件; 2. 基本技巧 对于曲线积分 ,下面四个条件等价: ① 曲线积分与路径无关. ② 被积表达式是某个函数的全微分. ③ 沿任何闭路线的曲线积分为零. ④ 首页 上页 下页 返回 结束 (5) 利用两类曲线积分的联系公式. 其中α,β为有向曲线L上点(x, y)处的切向量的方向角. (4) 利用斯托克斯公式; (3) 利用格林公式 (注意加辅助线的技巧); 首页 上页 下页 返回 结束 1. 基本方法 曲面积分 第一类( 对面积 ) 第二类( 对坐标 ) 转化 二重积分 (1) 统一积分变量 — 代入曲面方程 (2) 积分元素投影 第一类: 始终非负 第二类: 有向投影 (3) 确定积分区域 — 把曲面积分域投影到相关坐标面 首页 上页 下页 返回 结束 计算方法 第一类( 对面积的曲面积分 ) 首页 上页 下页 返回 结束 Σ上侧取正号, 下侧取负号. 第二类( 对坐标的曲面积分 ) Σ前侧取正号，后侧取负号. 首页 上页 下页 返回 结束 Σ右侧取正号，左侧取负号. 注：对于封闭曲面, 可考虑用高斯公式. 首页 上页 下页 返回 结束 2. 基本技巧 (1) 利用对称性简化计算 (2) 利用高斯公式 注意公式使用条件 添加辅助面的技巧 (辅助面一般取平行坐标面的平面) 高斯公式反映的是空间闭区域Ω上三重积分与其边界曲面Σ上的曲面积分之间的关系. 首页 上页 下页 返回 结束 (3) 两类曲面积分的转化 其中α,β,γ为有向曲面Σ上点(x, y, z)处的法向量的方向角. 首页 上页 下页 返回 结束 解 利用极坐标, 原式= 说明:若用参数方程计算,则 首页 上页 下页 返回 结束 首页 上页 下页 返回 结束 解 首页 上页 下页 返回 结束 解 因在 ?上有 故 原式 = 首页 上页 下页 返回 结束 解法1 令 则 这说明积分与路径无关, 故 首页 上页 下页 返回 结束 *