[理学]曲线积分与曲面积分-第一类曲面积分.pdf

第十章 第四节 第一类曲面积分 一、主要内容 二、典型例题 三、同步练习 四、同步练习解答 一、主要内容 (一) 第一类曲面积分的概念与性质 1. 问题引入 非均匀曲面形构件的质量 “分割, 近似，求和, z 采用 ( , , )ξ η ζ k k k 取极限”的方法，可得 n ( , , ρ)ηξ ζ ΔS M lim ∑ k k k k ∑ λ→0 k 1 (其中,x ,ρy)z 表示连续的面密度 , o y λ表示 n 小块曲面的直径的最大 x 值 (曲面的直径为其上任意两点间距离的最大者). 2. 定义10.3 设函数 f (x, y, z) 在分片光滑 的曲面 ∑上有界. 将∑任意分成 n 小块 ΔΣ , 记第i 小块的面积为ΔS ， i i 在第i 小块曲面ΔΣ 上 任取一点 M, （,ξ ),η ζ i i i i i 作乘积( , , f )ξ η ζ ⋅ΔS i i i i ( i 1, 2, , ),n L n ( , , ξ) ηf . ζ ΔS 并作黎曼和 ∑ i i i i i 1 如果当各小块曲面直径的最大值λ→0时，和 的极限总存在, 即极限值和曲面∑的分法及点 则称该极限值为函数 f (x, y, z) M 的取法无关， i 在曲面∑上的第一类曲面积分或对面积的曲面 积分，记作 ∫∫f (x , y , z )dS , 即 Σ 被积函数 n f (x , y , z )dS lim f (ξ ,η,ζ )ΔS . ∫∫ λ→0 ∑ i i i i Σ i 1 被 面 积 积 积 积分和式 分 表 曲 达 元 面 式 素 注 1º