[理学]曲线积分和曲面积分2.ppt

曲线积分与曲面积分 第二章 第二类曲线积分(对坐标的曲线积分) 问题的提出 对坐标的曲线积分的概念 对坐标的曲线积分的计算 小结 一、问题的提出 二、对坐标的曲线积分的概念 三、对坐标的曲线积分的计算 例5. 求 例6. 例7. 设 四、小结 作业 P178 1、3、5、6、7、8 * 实例: 变力沿曲线所作的功 常力所作的功 分割 求和 取极限 近似值 精确值 1.定义 类似地定义 2.存在条件： 3.组合形式(对向量函数的积分) 4.推广 5.性质 即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关. （3）当路径L为闭曲线时，规定L的正方向如下： 人沿闭曲线行走， 若闭曲线所围的区域总在人的左侧， 则人前进的方向为正方向. 沿闭曲线L正方向的曲线积分记作 设闭曲线 则 定理 说明： （1）定积分的下限与积分曲线的起点对应， 上限与曲线 的终点对应， 与 和 的大小无关. （2） 对于直角坐标方程，通常先化为参数方程，再处理. 特殊情形 例1 解 例2 解 问题：被积函数相同，起点和终点也相同，但路径不同积分结果不同. 例3 解 问题：被积函数相同，起点和终点也相同，但路径不同而积分结果相同. 例4. 在坐标原点O处放置电荷量为q的正电荷，一单位 正电荷在该电场中沿路径 L 运动，求电场力所做的功. (1) L为直线 由点 到 . (2) L为xOy坐标面上的圆弧 由点 到 解 如图所示，在空间中任一点 处，电场力为 其中 从而得功的表达式 （1） 的参数方程为 对应点 ， 对应点 ，故 （2） 上任一点处的切线方向都与向径 垂直， 因此 而电场力的方向与向径相同， 即 从而 其中 从z 轴正向看为顺时针方向. 解: 取 ? 的参数方程 区别 四、两类曲线积分的关系 其中 （可以推广到空间曲线上 ） 联系： 可用向量表示 有向曲线元； 将积分 化为对弧长的积 分, 解： 其中L 沿上半圆周 二者夹角为 ? 曲线段 L 的长度为s, 证明 续, 证: 设 说明: 上述证法可推广到三维的第二类曲线积分. 在L上连 1．对坐标曲线积分的概念 2．对坐标曲线积分的计算 3．两类曲线积分之间的联系 * *