[理学]极坐标计算二重积分.ppt

解法一 例5 例5 解法二 解 的原函数不是初等函数 , 故本题无法用直角 由于 坐标计算. 注: 利用上例可得到一个在概率论与数理统计及工程 上非常有用的反常积分公式 ① 解答： 思考题 解 CH21-重积分 (1)直角坐标下累次积分的计算公式 ［Y－型］ ［X－型］ 知识点回顾 确定累次积分限 关键 直角坐标系下的面积元素 (2) 交换二次积分的积分次序 知识点回顾 画出积分区域形状， 确定新的二次积分限 (3) 利用对称性和奇偶性化简二重积分 关键 重要结论 知识点回顾 (4) 应用问题 --由曲面所围成的立体体积的计算 方法 y z x 解 利用极坐标系计算 思考题 考研—填空题 第 二十一章 $4 利用极坐标计算 二重积分 数学分析 利用极坐标计算二重积分---249页 极坐标系下的面积元素的确定 主要内容 二重积分转化为极坐标形式表达式 极坐标系下的二重积分化为累次积分 极坐标系下二重积分的 ----计算方法 本节重点 本节关键 ? 极坐标系下的面积元素如何表示？ 极坐标系下的区域如何表示？ 一、极坐标系下二重积分的表达式 极坐标系下被积函数如何表示？ 利用扇形的 面积公式 （用极坐标曲线划分D） 面积元素 1. 极坐标系下的面积元素的确定 极坐标系下区域的面积 化边界曲线 化被积函数 化面积元素 应用范围：积分区域为圆域(或一部分)，被积函数含 的用此简便. 2. 二重积分转化为极坐标形式的表达式 关键 确定极坐标系下先r后? 积分的方法 ? =? ? =? ? -型： 极坐标系下的累次积分 极坐标系下区域如图所示： 二、极坐标系下二重积分化累次积分 方法： 三线法 区域特征（一）如图： 极点在积分区域外 二重积分化为二次积分的公式（１） 251页 二重积分化为二次积分的公式（２） 区域特征（二）如图 极点在区域 D 的边界上 二重积分化为二次积分的公式（３） 区域特征（三）如图 极点在区域D内部 思考: 下列各图中区域 D 分别与 x , y 轴相切于原点,试问 ? 的变化范围是什么? 答: (1) (2) 解 例题分析 印象 复杂问题简单化了！ 考研—填空题 解 例题分析 为极坐标下的二次积分. 练习 化二重积分 1 解 解 被积函数奇偶不确定 如果积分区域D为圆、 半圆、圆环、扇形域等，或被积函数 f (x2+y2) 形式，利用极坐标常能简化计算. 通常出现下面两类问题： 1.将直角坐标系下的二重积分转化为 极坐标系下的二重积分， 2.将极坐标系下的二重积分转化为直角 坐标系下的二重积分 小结 解题步骤： 1.将直角坐标系下的二重积分转化为极坐标系下 的二重积分，需依下列步骤进行： (1) 将 代入被积函数. (2) 将区域D的边界曲线换为极坐标系下的表达式，确定相应的积分限-------做题关键 (3) 将面积元dxdy 换为 . 2.将极坐标系下的二重积分转化为直角坐标系下的二重积分步骤与1相似，只需依反方向进行. 休息一会儿 作业：P254 -1,2， 如果积分区域D为圆、半圆、圆环、扇形域等， 或被积函数 f (x2+y2) 形式， 利用极坐标常能简化计算. 通常出现下面两类问题： 1.将直角坐标系下的二重积分转化为 极坐标系下的二重积分， 2.将极坐标系下的二重积分转化为直角 坐标系下的二重积分 解题步骤： 1.将直角坐标系下的二重积分转化为极坐标系下 的二重积分，需依下列步骤进行： (1) 将 代入被积函数. (2) 将区域D的边界曲线换为极坐标系下的表达式，确定相应的积分限-------做题关键 (3) 将面积元dxdy换为 . 2.将极坐标系下的二重积分转化为直角坐标系下的二重积分步骤与1相似，只需依反方向进行. 解 解 伯努利双曲线 例5求球面x2+y2+z2=a2含在圆柱面x2+y2=ax(a0)内部的那部分面积. y z x 解：A=4A1 S : Dxy: x2+y2≤ax, y≥0. z y x Dxy S 解 由对称性 y z x 例5 252-4 解 由对称性 二重积分在极坐标下的计算公式 （在积分中注意使用对称性） 小结 极坐标系下几种形式