[理学]梁昆淼_数学物理方法第7章.ppt

（四）、达朗贝解的适定性 考虑初始条件有两组，差别微小 ? (x)有直到二阶导数， ?(x)有直到一阶导数，达朗贝解存在 1、达朗贝解的存在性 2、达朗贝解的稳定性 达朗贝解的稳定 解： 或： 例：求定解问题 方程变化为 令 令： 其中A、B为常数 修改为 代入边界条件 令： 解： 例：求定解问题 方程（1）对t求导后减去（1）对x求导变化为 （1） 解为 即 代入（1）式有 代入边界条件 由（2）式有 （2） （3） 由（3）式有 * x=0 处 0 x a （三）、衔接条件 x0 x y 0 例：半径为a,表面熏黑的金属长圆柱，受到阳光照射， 阳光的方向垂直于柱轴，热流强度为M，写出热传导的 边界条件。 解： x y 阳光照射，流出 圆柱的热量为 由于温度梯度，流出 圆柱的热流为 x y 设柱面外温度为u0 柱面温度 u|? = a 由牛顿冷却定律 令 当M=0，m=0 x y 例：一根导热杆由两段构成，两段热传导系数、比热、密 度分别为kI, cI, ?I, kII, cII, ?II, 初始温度为u0, 然后保持两端 温度为零，写出热传导问题的定解方程。 解： 第一段 第二段 衔接条件： 温度相等 热流相等 7.4 达朗贝公式、定解问题 （一）、 达朗贝公式 考虑弦的振动方程 表示为： 或： 令： 令： 对?积分 再积分 表示以速度a沿x正负方向的行波 函数 f1 和 f2 的确定 考虑定解问题 求导有 积分有 例：求定解问题 例：求定解问题 例：求一端固定弦的振动情况（反射波定解问题） 代入初始条件 O x （二）、端点反射 代入边界条件 令 （1）、x ? at, 即 x - at ? 0 （2）、x ? at, 即 x -at ? 0 物理意义： 为讨论方便计设初速为0 解与达朗贝尔解一致，说明端点的影响未传到。 O x x =0处为波节。 x =0处入射波与反射波位相相反，有半波损失。 为入射波。 为反射波。 （三）、延拓 半无限长问题 求解中有 提示无限长杆u(x,t)是奇函数 提示无限长杆初始位移? (x)和初始 ?(x)是奇函数 称为沿拓 例：求解半无限长问题 杆端点自由，相对伸长量为0 提示无限长杆u(x,t)是偶函数 提示无限长杆初始位移? (x)和初始 ?(x)是偶函数 沿拓 例：求定解问题 考虑初始条件与半无限长，这一扰动产生的波沿x正向 解： 由边界条件 令 其中 若 第七章 数学物理方程定解问题 7.2 定解条件 7.3 数学物理方程的分类(自学） §7.1 三类数学物理方程的导出 第二篇 数学物理方程 7.4 达朗贝公式、定解问题 （一）、梯度矢量 令 §7.1 三类数学物理方程的导出 有时记 记 （二）、三类数学物理方程的导出 1、弦的横振动 x x+?x x y 弦的横向位移为 u(x,t) 考虑小振动 x x+?x x y x x+?x x y 记 例：一长为l的均匀柔软轻绳，其一端固定在竖直轴上， 绳子以角速度?转动，试推导此绳相对于水平线的横 振动方程 x x+?x x y 弦的横向位移为 u(x,t) x y ? l x x+?x 整理得： 2、均匀杆的纵振动 将细杆分成许多段 t时刻，A段伸长 t时刻，B段伸长 相对伸长 事实上，相对伸长是位置的函数，如 相对伸长 由虎克定律，B两端的张应力（单位横截面的力）分别为 B段运动方程为 B段运动方程为 记 3、扩散方程 由于浓度不同引起的分子运动 扩散流强度q ，即单位 时间内流过单位面积的分子数或质量，与浓度 u(单位体积内的粒子数） 的下降成正比 D 为扩散系数 负号表扩散方向与浓度梯度相反 大小 x方向左表面，dt 时间流入六面体的流量为 流出六面体的流量为 x方向左表面，单位时间流入六面体的流量为 单位时间流出六面体的流量为 净流入量为 x 方向净流入量为 y 方向净流入量为 z 方向净流入量为 立方体净流入量为 如立方体内无源和汇 dt时间内粒子增加数为 D=恒量， 令 a2=D 一维 若单位时间内单位体积中产生的粒子数为 F=(x,y,z,t) 与 u 无关 若单位时间内单位体积中产生的粒子数为 b2u 3‘、热传导方程 设有一根恒截面为A的均匀细杆，沿杆长有温度差， 其侧面绝热 u(x,t) 为 x 处 t 时刻温度，? 为杆密度 x x x+?x （1）、dt 时间内引起小段?x温度升高所需热量为 x x x+?x （2）、Furier s实验定理：单位 时间内流过单位面积的热量 q (热流强度量）与温度的下降成正比 n n k 为热传导系数 一维情况下如图有 大小 x方向左表面，dt 时间流入圆柱体的热量为 dt 时间流出圆柱体的热量为 x x x+?x dt 时间净流入的热