[理学]概率15.ppt

由此可以形象地把全概率公式看成为“由原因推结果”，每个原因对结果的发生有一定的“作用”，即结果发生的可能性与各种原因的“作用”大小有关. 全概率公式表达了它们之间的关系 . B1 B2 B3 B4 B5 B6 B7 B8 A 诸Bi是原因 A是结果 例 一个网络服务器的访问来自5个站点，已知来自1，2，3，4，5站点的访问数的百分比分别为20%，30%，15%，10%，25%，其访问时间超过2分钟的概率分别是0.4，0.6，0.8，0.2和0.9。现随机地选择一次访问，试问访问时间超过2分钟的概率是多少？ 设A={访问时间超过2分钟} Bi={访问来自第i个站点}, i=1,2,3,4,5 则 A=B1A+B2A+B3A+B4A+B5A 解 显然有 。 由全概率公式 所以 的一个划分， P(A)=P(B1)P(A |B1)+ P(B2)P(A|B2)+P(B3)P(A|B3) =0.458 =0.36×0.2+0.41 ×0.6+0.14 ×1 即飞机被击落的概率为0.458. 于是 该球取自哪号箱的可能性最大? 这一类问题是“已知结果求原因”. 在实际中更为常见，它所求的是条件概率，是已知某结果发生条件下，探求各原因发生可能性大小. 某人从任一箱中任意摸出一球，发现是红球,求该球是取自1号箱的概率. 1 2 3 1红4白 或者问: 四、贝叶斯公式 看一个例子: 接下来我们介绍为解决这类问题而引出的 贝叶斯公式 有三个箱子，分别编号为1,2,3，1号箱装有1个红球4个白球，2号箱装有2红球3白球，3号箱装有3红球. 某人从三箱中任取一箱，从中任意摸出一球，发现是红球,求该球是取自1号箱的概率 . 1 2 3 1红4白 ? 某人从任一箱中任意摸出一球，发现是红球，求该球是取自1号箱的概率. 记 Ai={球取自i号箱}, i=1,2,3; B ={取得红球} 求P(A1|B) 运用全概率公式 计算P(B) 将这里得到的公式一般化，就得到 贝叶斯公式 1 2 3 1红4白 ? 该公式于1763年由贝叶斯 (Bayes) 给出. 它是在观察到事件B已发生的条件下，寻找导致B发生的每个原因的概率. 贝叶斯公式在实际中有很多应用. 它可以帮助人们确定某结果（事件 B）发生的最可能原因. 例 1 某一地区患有癌症的人占0.005，患者对一种试验反应是阳性的概率为0.95，正常人对这种试验反应是阳性的概率为0.04，现抽查了一个人，试验反应是阳性，问此人是癌症患者的概率有多大? 则 表示“抽查的人不患癌症”. 已知 P(C)=0.005,P( )=0.995, P(A|C)=0.95, P(A| )=0.04 求解如下: 设 C={抽查的人患有癌症}， A={试验结果是阳性}， 求 P(C|A). 现在来分析一下结果的意义. 由贝叶斯公式，可得 代入数据计算得 P(C｜A)= 0.1066 2. 检出阳性是否一定患有癌症? 1. 这种试验对于诊断一个人是否患有癌症有无意义？ 如果不做试验,抽查一人,他是患者的概率 患者阳性反应的概率是0.95，若试验后得阳性反应 则根据试验得来的信息，此人是患者的概率为 从0.005增加到0.1066,将近增加约21倍. 1. 这种试验对于诊断一个人是否患有癌症有意义. P(C｜A)= 0.1066 P(C)=0.005 试验结果为阳性 , 此人确患癌症的概率为 P(C｜A)=0.1066 2. 即使受检测者呈阳性，尚可不必过早下结论此人有癌症，这种可能性只有10.66% (平均来说，1000个人中大约只有107人确患癌症)，此时医生常要通过再试验来确认. P(Ai) (i=1,2,…,n) 是在没有进一步信息（不知道事件B是否发生）的情况下，人们对诸事件发生可能性大小的认识. 当有了新的信息（知道B发生），人们对诸事件发 生可能性大小P(Ai | B)有了新的估计. 贝叶斯公式从数量上刻划了这种变化 在贝叶斯公式中，P(Ai)和P(Ai |B)分别称为原因的先验概率和后验概率. * 概率论与数理统计 * 小 结 这一节，我们介绍了条件概率的概念，条件概率实际上是在原试验条件上再加上谋事件已发生这一限制，因而在计算古典概型的题目时，有时将条件概率转化为缩小样本空间后的无条件概率。 全概率公式是计算较复杂事件的条