[理学]概率与数理统计第一章1.ppt

例3 设有电路如图所示,其中1,2,3,4为电子元件.设各电子元件的工作是相互独立的,且每一电子元件正常工作概率均为p.求L至R的系统正常工作的概率. L 1 2 3 4 R 解 设 则有 ,由 的独立性,有 第五节 条件概率 问题：一个家庭有两个孩子，已知其中有一个是女孩，问另一个也是女孩的概率是多少？ 分析：一个家庭有两个孩子的所有可能结果为： 如果设 ，则 包含有三种可能，表示为: 再令 ，则 只包含一种可 能性，即 一.条件概率 因此，应该有 符号 表示在事件A发生的条件下，事 件B发生的条件概率。 （1） 进一步的，我们可以将（1）式写成： 对于一般的等可能概型，如果 （符号#A表示A所包含的基本事件数）则应该有 下面我们给出条件概率的一般定义. 可以验证,条件概率仍然满足概率的三条公理: 由于是不放回抽样,所以有 由定义, 二、乘法公式 由条件概率的定义，可直接得到下面的乘法公式 乘法公式 设 是两个事件,并且 则有 一般地,用归纳法可证:若 则有 例1 已知某厂家的一批产品共100件,其中有5件废品,但是采购员并不知道有几个废品.为慎重起见,他对产品进行不放回的抽样检查,如果在被他抽查的5件产品中至少有一件是废品,则他拒绝购买这一批产品.求采购员拒绝购买这批产品的概率. 解 设 则有， 从而 从而，由概率的乘法公式，有 于是， 例2 袋中有一个白球及一个黑球,一次次地从袋中取球.如果取出白球,则除把白球放回外再加进一个白球,直至取出黑球为止.求取了n次都没有取到黑球的概率. 解 设 则有 从而由乘法公式,有 三、全概率公式与贝叶斯公式 下面介绍两个计算概率的重要公式 定义 如果事件 满足: 1) 2) 则称事件组 是样本空间的一个划分 定理(全概率公式) 设事件组 是样 本空间的一个划分,且 则有 证明 由于 是样本空间的一个划分, 所以 两两不相容,由概率的可加 性,得 例1 设有来自三个地区的各10名、15名和25名考生的报名表,其中女生的报名表分别为3份、7份和5份.随机地取一个地区的报名表,从中先后抽两份. 1)求先抽到的一份是女生表的概率p； 2)已知后抽到的一份是男生表,求先抽到的一份是女生表的概率 q； 解 设 则 因为抽签结果与顺序无关，故有 1）由全概率公式，得 2）后抽到的一份是男生表的概率为 又 故由全概率公式 因此 全概率公式是概率论中最重要的公式之一.利用条件概率与全概率公式,我们可以建立另一个极为有用的公式,这就是下面定理所描述的贝叶斯公式. 定理(贝叶斯公式) 设 是样本空间的 的一个划分,且 ,则有 证明 由条件概率的定义和全概率公式得 证毕 例2某电子设备制造厂所用的晶体管是由三家元件制造厂提供的.根据以往的记录有以下的数据. ? 元件制造厂 次品率 提供晶体管的份额 1 0.02 0.15 2 0.01 0.80 3 0.03 0.05 设这三家工厂的产品在仓库中是均匀混合的,且无区别的标志.（1）在仓库中随机地取一只晶体管,求它是次品的概率.（2）在仓库中随机地取一只晶体管,若已知取到的是次品,为分析此次品出自何厂,需求出此次品是由第1、2、3家工厂生产的概率分别是多少.试求这些概率. 解 设 A={取到的是一只次品} Bi={所取产品是由第i加工厂提供｝ 显然，B1,B2,B3是样本空间的一个划分 (1)由全概率公式 (2)由贝叶斯公式 同理 例3 对以往数据分析的结果表明,当机器调整得良好时,产品的合格率为90%,而当机器发生某一故障时,其合格率为30%.每天早上机器开动时,机器调整得良好的概率为75%.试求已知某日早上第一件产品是合格品时,机器调整得良好的概率是多少？ 解 设 A={产品是合格品}, B={机器调整得良好} 显然, 构成了必然事件的一个划分,由贝叶斯公 式,所求的概率为 已知 这样我们就有了两个概率,一个是 ,这是 在试验前根据以往的数据分析得到的,称为先验概 率;另一个是 ,这是在通过试验得到信 息（即早上第一件产品是合格品）后重新加以修正的概率,称为后验概率. 因此,概率也可以是人们对客观事件的信念的一种度量. 解 由贝叶斯公式,有 第六节 独立性 事件的独立性是概率论中最重要的概念之一.那么什么是事件的独立性呢？ 所谓两个事件A与B相互独立,直观上说就是它们互不影响,说得更明确一点，就是事件A发生与否不会影响事件B发生的可能性, 事件B发生与否不会影响事件A发生的可能性,用数学式子来表示,就是 且 定义 设A、B是两个事件，如