[理学]概率1-5.ppt

第五节　条件概率 四、小结 贝叶斯资料 2. 全概率公式 全概率公式 图示 证明 化整为零 各个击破 说明 全概率公式的主要用处在于它可以将一个复杂事件的概率计算问题,分解为若干个简单事件的概率计算问题,最后应用概率的可加性求出最终结果. 某一事件A的发生有各种可能的原因 ，如果A是由原因Bi (i=1,2,…,n) 所引起，则A发生的概率是 每一原因都可能导致A发生，故A发生的概率是各原因引起A发生概率的总和，即全概率公式. P(ABi)=P(Bi)P(A |Bi) 全概率公式. 我们还可以从另一个角度去理解 由此可以形象地把全概率公式看成为“由原因推结果”，每个原因对结果的发生有一定的“作用”，即结果发生的可能性与各种原因的“作用”大小有关. 全概率公式表达了它们之间的关系 . B1 B2 B3 B4 B5 B6 B7 B8 A 诸Bi是原因 B是结果 例6 有一批同一型号的产品，已知其中由一厂生产的占 30% ，二厂生产的占 50% ，三厂生产的占 20%，又知这三个厂的产品次品率分别为2% ， 1%，1%，问从这批产品中任取一件是次品的概率是多少? 设事件 A 为“任取一件为次品”, 解 由全概率公式得 30% 20% 50% 2% 1% 1% 例 甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击, 三人击中的概率分别为0.4、0.5、0.7. 飞 机被一人击中而击落的概率为0.2,被两人击中而击落的概率为0.6, 若三人都击中, 飞机必定被击落, 求飞机被击落的概率. 设A={飞机被击落} Bi={飞机被i人击中}, i=1,2,3 由全概率公式 则 A=B1A+B2A+B3A 解 依题意， P(A|B1)=0.2, P(A|B2)=0.6, P(A|B3)=1 P(A)=P(B1)P(A |B1)+ P(B2)P(A|B2) + P(B3)P(A |B3) 可求得 为求P(Bi ) , 设 Hi={飞机被第i人击中}, i=1,2,3 将数据代入计算得 P(B1)=0.36;P(B2)=0.41;P(B3)=0.14. P(A)=P(B1)P(A |B1)+ P(B2)P(A|B2)+P(B3)P(A|B3) =0.458 =0.36×0.2+0.41 ×0.6+0.14 ×1 即飞机被击落的概率为0.458. 于是 该球取自哪号箱的可能性最大? 这一类问题是“已知结果求原因”. 在实际中更为常见，它所求的是条件概率，是已知某结果发生条件下，探求各原因发生可能性大小. 某人从任一箱中任意摸出一球，发现是红球,求该球是取自1号箱的概率. 1 2 3 1红4白 或者问: 四、贝叶斯公式 看一个例子: 接下来我们介绍为解决这类问题而引出的 贝叶斯公式 有三个箱子，分别编号为1,2,3，1号箱装有1个红球4个白球，2号箱装有2红球3白球，3号箱装有3红球. 某人从三箱中任取一箱，从中任意摸出一球，发现是红球,求该球是取自1号箱的概率 . 1 2 3 1红4白 ? 某人从任一箱中任意摸出一球，发现是红球，求该球是取自1号箱的概率. 记 Ai={球取自i号箱}, i=1,2,3; B ={取得红球} 求P(A1|B) 运用全概率公式 计算P(B) 将这里得到的公式一般化，就得到 贝叶斯公式 1 2 3 1红4白 ? 称此为贝叶斯公式. 贝叶斯公式 贝叶斯资料 证明 该公式于1763年由贝叶斯 (Bayes) 给出. 它是在观察到事件B已发生的条件下，寻找导致B发生的每个原因的概率. P(Ai) (i=1,2,…,n) 是在没有进一步信息（不知道事件B是否发生）的情况下，人们对诸事件发生可能性大小的认识. 当有了新的信息（知道B发生），人们对诸事件发 生可能性大小P(Ai | B)有了新的估计. 贝叶斯公式从数量上刻划了这种变化 在贝叶斯公式中，P(Ai)和P(Ai |B)分别称为原因的先验概率和后验概率. 贝叶斯公式在实际中有很多应用. 它可以帮助人们确定某结果（事件 B）发生的最可能原因. 例7 解 (1) 由全概率公式得 (2) 由贝叶斯公式得 解 例8 由贝叶斯公式得所求概率为 上题中概率 0.95 是由以往的数据分析得到的, 叫 做先验概率. 而在得到信息之后再重新加以修正的概率 0.97 叫做后验概率. 先验概率与后验概率 一、条件概率 二、乘法定理 三、全概率公式与贝叶斯公式 四、小结 在解决许多概率问题时，往往需要在有某些附