[理学]概率统计第2章.ppt

彭红军课件系列之概率论与数理统计 第二章 第一节 例2、 第二、三节 一、离散型随机变量的定义 例 1 设随机变量 X 的分布律为 性质： 二、常用的离散型随机变量及其分布 Ⅱ.二项分布 例3. 泊松定理 例 4 例 4（续） 解：设 B={ 此人在一年中得3次感冒 } 第四节 例 3 设随机变量 X 的分布函数为 第五、六节 一、连续型随机变量的定义 概率密度的性质 3、连续性随机变量的特点 例 4 二、常用的连续型随机变量 均匀分布的概率背景 第七节 第二章结束 请注意复习！ 一、离散型随机变量函数的分布 例1. 设随机变量 的分布律见下表 , 试求随机变量 解: 的分布律。 例2： 解: 由题意可知 的取值范围为 二、连续型随机变量函数的分布 分布函数法解 题 思 路 例3、 设 X 的概率密度为 求 Y = 2 X+8 的概率密度。 解: 由题意可知 的取值范围为(8,16) 定理 设随机变量 X 具有概率密度 则 Y =g(X ) 是一个连续型随机变量 Y，其概率密度为 其中 h(y) 是 g(x) 的反函数， 即 例4 均匀分布，试求电压V的概率密度. 解： 解: 例1. 已知随机变量X 的分布律为 求分布函数 当 时, 当 时, 当 时, 所以， 观察离散型随机变量分布函数 F (x) 在 x = xk (k =1, 2 ,…) 处有跳跃， 其跳跃值为 p k =P{X= xk}. X pk -1 2 3 1 例 2 一个靶子是半径为 2 米的圆盘，设击中靶上任一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比，并设射击都能中靶，以 X 表示弹着点与圆心的距离. 试求随机变量X的分布函数. 解： （1） 若 x 0, 则 是不可能事件，于是 （2） X （3） 若 , 则 是必然事件，于是 0 1 2 3 1 F(x) x 解：由分布函数的性质，我们有 解方程组 得解 连续型随机变量及其分布 第二章 一、连续型随机变量的定义 二、常用的连续型随机变量 定义1. 设 F(x) 是随机变量 X的分布函数，若存在非负 ，使对任意实数 则称 X为连续型随机变量，称 为 X 的概率密度函 数，简称概率密度或密度函数。 函数 1. 概率密度 ⑴ 非负性 ⑵ 由于 (3) f (x)在点x 处连续，则 f (x)的意义： 随机变量 X在点x 处的密集程度。 (1) (2) (3) F(x)连续。 f (x) x 例2、 设连续型随机变量 X的概率密度为 求 A的值， 例3、 ，求A , B 及 f (x)。 定义、 若 连续型随机变量 X 的概率密度为： 则称 X 服从 [ a, b]上的均匀分布， X ～ U [a, b] 1、均匀分布 记作： 分布函数为: 因为 由此可得，如果随机变量 X 服从区间 上的均匀 分布，则随机变量 X 在区间 上的任一子区间上取 值的概率与该子区间的长度成正比，而与该子区间的 位置无关。 例1、 设随机变量X 服从[1，6]上的均匀分布，求一元 二次方程 有实根的概率。 解 因为当 时，方程有实根，故所求 概率为 从而 2、 指数分布 定义、若随机变量X 的概率密度为： 指数分布。 为常数，则称随机变量X服从参数为 其中 的 分布函数： 例2 假设顾客在某银行窗口等待服务的时间(单位:分钟) X 服从参数为 的指数分布。若等待时间超过10 分钟，则他离开。假设他一个月内要来银行5次， 以 Y 表示一个月内他没有等到服务而离开窗口的次数，求Y 的分布律及至少有一次没有等到服务的概率 解 Y是离散型， ，其中 现在 X 的概率密度为 3、正态分布 定义1：若随机变量 X 的概率密度函数为 则称X 服从参数为 的正态分布或高斯分布， f (x)的图形： 特点： (1) f (x)关于 (2) f (x)在 (3) 定义2、 称 X 服从标准正态分布， 性质： 思考：怎样证明 定理： 若 ，则 证明： 求 的分布函数 定理： 若 ，则 若 书末附有标准正态分布函数数值表，有了它， 可以解决标准正态分布的概率计算. 表中给的是x 0时, Φ(x)的值. 例1、 解： = 0.8413. = 0.0668. 例2. 某电子元件的寿命服从 求: 1) 电子元件寿命在250个小时以上的概率 2) 求 k , 使元件寿命在 之间的概率为0.9 解: 设