[理学]概率论7.ppt

第四章 第一节 例3 一般来说， ,那么何时相等？ 看下面数学期望性质 1. 设C 是常数，则E(C )=C ; 2. 若C 是常数，则E(CX )=CE(X ); 3. 三、数学期望的性质 证明: 设 4. 设X、Y 独立，则 E(XY )=E(X )E(Y ); 证明: 设 由独立性 （当Xi 独立时） 注意:由E(XY )=E(X )E(Y )不一定能推出X,Y 独立 例1 设随机变量 的概率密度为 问 X 和 Y 是否相互独立？ 解 则：X 和 Y 是相互独立 ？ E(XY )=E(X )E(Y ) 因为 所以X 和 Y 不相互独立。 求关于X 和Y 的边缘概率密度 证明： 5.（柯西-施瓦尔兹不等式） 6. 四、几种重要分布的数学期望 Ⅰ. X为离散型随机变量 ⑴（0—1）分布 ⑵ 泊松分布 ⑶ 二项分布 则X 表示n 重伯努利试验中A发生的次数. 现在我们来求X 的数学期望 。 若设 则 其中 即 ，则 所以 结论：任何一个服从二项分布的随机变量 X 都可表示 n 个服从（0—1）分布的独立的随机变量 相加的 Ⅱ. X为连续型随机变量 ⑴ 均匀分布 形式： * 随机变量的数字特征 一、数学期望 二、方差 三、协方差及相关系数 四、矩、协方差矩阵 在前面的课程中，我们讨论了随机变量及其分布，如果知道了随机变量 X 的概率分布，那么 X的全部概率特征也就知道了. 然而，在实际问题中，概率分布一般是较难确定的. 而在一些实际应用中，人们并不需要知道随机变量的一切概率性质，只要知道它的某些数字特征就够了. 随机变量的数字特征（即用数字表示随机变量的 分布特点）， 在理论上和应用上都是有重要意义的。 本章介绍随机变量常用的数字特征： 数学期望、方差、协方差、相关系数、协方差矩阵 数学期望 第四章 二、随机变量函数的数学期望 一 、数学期望的概念 三、数学期望的性质 四、几种重要分布的数学期望 一、数学期望的概念 对于随机变量来说， 有时不仅要知道它的概率分布， 还希望知道随机变量取值的“平均”大小。 起源： 法国数学家帕斯卡（Pascal，1623—1662） 法国数学家费马（ Fermat，1601—1665） 法国军人德.梅勒（De Mere，1607—1684） 我们来看一个引例. 引例1 某车间对工人的生产情况进行考察. 车工小张每天生产的废品数X是一个随机变量. 如何定义X的平均值呢？ 我们先观察小张100天的生产情况 （假定小张每天至多出现三件废品 ） 1、离散型随机变量的数学期望 可以得到这100天中 每天的平均废品数为 这个数能否作为 X的平均值呢？ 若统计100天, 32天没有出废品; 30天每天出一件废品; 17天每天出两件废品; 21天每天出三件废品; 可以想象，若另外统计100天，车工小张不出废品，出一件、二件、三件废品的天数与前面的100天一般不会完全相同，这另外100天每天的平均废品数也不一定是1.27. n0天没有出废品; n1天每天出一件废品; n2天每天出两件废品; n3天每天出三件废品. 可以得到n天中每天的平均废品数为 (假定小张每天至多出三件废品) 一般来说, 若统计n天 , 这是 以频率为权的加权平均 当n很大时，频率接近于概率，所以我们在求废品数X 的平均值时，用概率代替 频率，得平均值为 这是 以概率为权的加权平均 这样得到一个确定的数.我们就用这个数作为随机变量X 的平均值 . 注：离散型随机变量的数学期望是一个绝对收敛的 若级数 绝对收敛 。 设离散型随机变量X 的分布律为 简称期望或均值，记为 E(X). 则称此级数的和为X 的数学期望。 即 级数的和. 数学期望是随机变量的平均值， 其与 X 取 值 x k 的顺序无关（唯一性），所以要求级数绝对收敛。 定义1 定理：绝对收敛级数经改变项的位置后构成的级数也收敛，且与原级数有相同的和（即绝对收敛级数具有可交换性）. 解 设试开次数为X , 于是 某人的一串钥匙上有n 把钥匙，其中只有一把能打开自己的家门，他随意地试用这串钥匙中的某一把去开门. 若每把钥匙试开一次后除去，求打开门时试开次数的数学期望. 例1 例2 甲乙两人射击，他们的射击水平由下表给出 试问哪个人的射击水平较高？ 解 甲乙的平均环数可求得： 因此，从平均环数上看，甲的射击水平要比乙的好。 X：甲击中的环数 Y：乙击中的环