[理学]概率论与数理统计-22连续型随机变量及其分布.ppt

即 假如X表示寿命的大小，则上式表示：如果已知寿命长于s年，则再存活t年的概率与年龄s无关. 指数分布是唯一具有“无记忆性”性质的连续型分布. 例 设随机变量X具有概率密度 试确定常数k，并求 解 由 解得k=3. 于是X的概率密度为 例　假设某元件的寿命服从参数λ= 0.0015的指数分布，求它使用1000小时后还没有坏的概率. 解　设ξ为该元件的寿命，则 4. 正态分布 正态分布最早是德莫弗（A.De.Moivie）在1733研究二项分布的极限分布形式时提出的，在当时没有引起学术界的重视。 后来，高斯（C.F.Gauss）在1809年，拉普拉斯（M.D.Laplace）在1812年分别重新提出，所以正态分布又称为高斯分布或高斯－拉普拉斯分布. 正态分布是概率论中最重要的分布之一. 例如，测量的误差、一批产品的质量指标、人体的身高或体重、农作物的单位面积产量、炮弹弹着点的分布、气象中的月平均气温、湿度、降水量等都服从或近似服从正态分布. 另外，正态分布又具有许多良好的性质，许多分布可用正态分布来近似，它能描述相互独立的多个微小因素的综合效果，在数理统计中解决实际问题时用得最多的就是正态分布或与正态分布有关. 则称随机变量X服从参数 的正态分布. 记为 定义 若连续型随机变量X的概率密度函数为 服从正态分布的随机变量又称为正态变量 正态分布密度函数f (x)的性质与图形 定义域为（-?,+?）； 对称性：关于 x=? 对称； 单调性：在区间（- ?,?）单调上升， 在区间（?,+?）单调下降； 极值： 凹凸性：凸弧（?-?,?+?）， 凹弧（-?,?-?）∪（?+?,+?） 渐进线：y = 0. 拐点： y ? ?-? ?+? x 图像： ?１ ?2 当σ固定而μ值改变时，曲线沿着x轴平移，形状不变. 故μ称为位置参数. 当μ 固定而σ变小时，曲线变得陡峭，即分布越集中于μ 的附近；反之， σ变大时，曲线变得平缓，即分布越分散. 故σ称为离散参数. 正态分布的分布函数 F(x) 1 ? x 特别地，当 即 N(0,1) 分布称为标准正态分布，其概率密度函数为 标准正态分布 标准正态分布的概率密度函数图像如图所示： 服从标准正态分布的随机变量落在区间内的概率的计算： 由于积分 不能用常规方法计算，我们把分布函数Φ(x)的值编制成“标准正态分布表”. (1) 当 x 0时，由标准正态分布表可以查出函数Φ(x)的数值 (2) 已知b求a使Φ(a)=b，反过来查标准正态分布表可得a的值. 如Φ(a)=0.9750，查表得a=1.96. (3) 当 x0时，利用标准正态分布密度函数图形的对称性可得 一般地，若X~N(0,1)，则 (1) P(X=a) = 0; (2) P(X≤a) = P(Xa) = Φ(a); (3) P(Xa) = P(X≥a) = 1－Φ(a); (4) P(aXb) = Φ(b)－Φ(a); (5) P(|X|a) = P(-aXa) = Φ(a)－Φ(-a) = Φ(a)－(1－Φ(a)) = 2 Φ(a)－1 * * §2.2 连续型随机变量及其分布 1. 连续型随机变量 2. 均匀分布 3. 指数分布 4. 正态分布 在前面我们学习一类离散型随机变量，主要特点是它仅取有限或可数个值，并且取每个值的概率大于0. 但在实际问题中，我们时常需要考虑另外一类随机变量. 如： （1）随机地向区间[0,1]上投点，其落点的位置，可在[0,1]上取值； （2）日光灯泡的使用寿命可在[0, +∞)上取值等. 更为重要的是，它们取每个给定值的可能性均为0. 这时，我们该怎样刻画这些随机变量呢？ 1. 连续型随机变量 定义2.2.1 设随机变量X的分布函数为F(x) ，若存在非负可积函数f (x) ，使得对于任意实数 x，都有 则称X为连续型随机变量， 称 f (x) 为X的概率密度函数（Probability Density Function），简称概率密度或密度函数. 由定义可知，连续型