[理学]概率论与数理统计23.ppt

例2 年轻 题5 题6 思考2 Show[fn1,fn3] ?大 ?小 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 几何意义 ? 大小与曲线陡峭程度成反比 数据意义 ? 大小与数据分散程度成正比 正态变量的条件 若 r.v. X ① 受众多相互独立的随机因素影响 ② 每一因素的影响都是微小的 ③ 且这些正、负影响可以叠加 则称 X 为正态 r.v. 可用正态变量描述的实例极多： 各种测量的误差； 人体的生理特征； 工厂产品的尺寸； 农作物的收获量； 海洋波浪的高度； 金属线抗拉强度； 热噪声电流强度； 学生的考试成绩； 一种重要的正态分布 是偶函数，分布函数记为 标准正态 其值有专门的表供查. —— 标准正态分布N (0,1) 密度函数 -x x 对一般的正态分布 ：X ~ N ( ? ,? 2) 其分布函数 作变量代换 例5 设测量的误差 X ~ N(7.5,100)(单位:米) 问要进行多少次独立测量，才能使至 少有一次误差的绝对值不超过10米的 概率大于0.9 ? 解 例5 设 A 表示进行 n 次独立测量至少有一次 误差的绝对值不超过10米 n 3 故至少要进行 4 次独立测量才能满足 要求. 例6 某年高考生的成绩 X ~ N(540,902) , 解 例6 按高考成绩分等级. 高于630分为一等, 进入重点大学本科 ;介于540~630之间 为二等, 进入本科, 介于470~540之间为 三等, 进入专科, 低于470分为四等, 则 落选 . 求等级分的概率分布. 设随机变量Y表示等级分, 显然Y为 四点分布 所以Y的概率分布为 Y 1 2 3 4 P 0.1587 0.3413 0.2823 0.2177 例6 已知 且 P( 2 X 4 ) = 0.3, 求 P ( X 0 ). 解一 例7 解二 图解法 0.2 由图 0.3 例 3? 原理 设 X ~ N ( ? , ? 2), 求 解 一次试验中, X 落入区间( ? - 3? , ? +3? ) 的概率为 0.9974, 而超出此区间可能性很小 由3? 原理知， 当 3? 原理 6西格玛是20世纪90年代初期摩托罗拉公司最早倡导的商务举措。近年来更多的公司（如通用电气，索尼、联合信号）成功实施6σ的故事更为华尔街所关注并津津乐道。平均每个6 σ项目的实施都会带来6位数的利润增长。 3σ质量标准意味着： 每小时丢失20000个邮件； 每天15分钟饮用水无法达到卫生标准； 每周5000个错误的外科手术； 每天在全球各大机场有两次降落失误； * §2.3 连续型随机变量 定义 设 X 是随机变量, 若存在一个非负 可积函数 f ( x ), 使得 其中F ( x )是它的分布函数 则称 X 是 连续型 r.v. ，f ( x )是它的概率 密度函数( p.d.f. ). 连续型 r.v.的概念 §2.3 连续 x f ( x) x F ( x ) 分布函数与密度函数 几何意义 p.d.f. f ( x )的性质 常利用这两个性质检验一个函数能否作为连续性 r.v.的 p.d.f. 在 f ( x ) 的连续点处， f ( x ) 描述了X 在 x 附近单位长度的 区间内取值的概率 积分 线段质量 长度 密度 注意: 对于连续型r.v.X , P(X = a) = 0 其中 a 是随机变量 X 的一个可能的取值 命题 连续r.v.取任一常数的概率为零 强调 概率为0 (1) 的事件未必不发生(发生) 事实上 对于连续型 r.v. X b x f ( x) -10 -5 5 0.02 0.04 0.06 0.08 a x f ( x) -10 -5 5 0.02 0.04 0.06 0.08 a 例1 已知某型号电子管的使用寿命 X 为连 续r.v., 其 d.f.为 (1) 求常数 c (3) 已知一设备装有3个这样的电子管, 每个电子管能否正常工作相互独立, 求在使用的最初1500小时只有一个损坏的概率. (2) 计算 例1 解 (1) 令 c = 1000 (2) (3) 设A 表示一个电子管的寿命小于1500小时 设在使用的最初1500小时三个电子管中 损坏的个数为 Y (1) 均匀分布 常见的连续性随机变量的分布 若 X 的 d.f. 为 则称 X 服从区间( a , b)上的均匀分布或称 X 服从参数为 a , b的均匀分布. 记作 均匀分布 X