[理学]概率论与数理统计A第5章.ppt

概率论与数理统计第5章大数定律和中心极限定理 5.1 大数定律 5.2 中心极限定理 依分布收敛 用X表示在某时刻工作着的车床数， 解：对每台车床的观察作为一次试验，每次试验 是观察该台车床在某时刻是否工作, 工作的概率0.6 ,共进行200次独立重复试验. 依题意， X~B(200,0.6), 现在的问题是： P(X≤N)≥0.999 的最小的N. 求满足 设需N台车床工作， （由于每台车床在开工时需电力1千瓦，N台工作所需电力即N千瓦.） 由德莫佛-拉普拉斯极限定理 近似N(0,1), 于是 P(X≤N)= P(0≤X≤N) 这里 np=120, np(1-p)=48 由3σ准则， 此项为0。 查正态分布函数表得 * * 大数定律 依概率收敛定义及性质 随机变量序列服从大数定律 大量随机试验中 大数定律的客观背景 大量抛掷硬币 正面出现频率 字母使用频率 生产过程中的 废品率 …… 一、大数定律 定理1（切比雪夫定理的特殊情况） 切比雪夫 则对任意的ε0，有 做前 n 个随机变量的算术平均 证 由切比雪夫不等式 上式中令 得 说明 二、依概率收敛定义及性质 定义 性质 请注意 : 问题 : 伯努利 设nA是n重贝努里试验中事件A发生的次数，p是事件A发生的概率， 是事件A发生的频率. 设 nA 是n次独立重复试验中事件A发 生的次数，p是事件A在一次试验中发生 的概率，则对于任意正数ε 0 ，有 定理2（贝努里大数定律） 或 伯努利 证明 证毕 注 贝努里大数定律表明，当重复试验次数n充分大时，事件A发生的频率nA/n与事件A的概率p有较大偏差的概率很小. 或 下面给出的独立同分布下的大数定律，不要求随机变量的方差存在. 设随机变量序列X1,X2, … 相互独立，服从同一分布，具有数学期E(Xi)=μ, i=1,2,…， 则对于任意正数ε ，有 定理3（辛钦大数定律） 辛钦 1、辛钦大数定律为寻找随机变量的期望值提供了一条实际可行的途径. 注 2、伯努利大数定律是辛钦定理的特殊情况. 3、辛钦定理具有广泛的适用性. 要估计某地区的平均亩产量 ， 要收割某些有代表性块，例如n 块 地. 计算其平均亩产量，则当n 较 大时，可用它作为整个地区平均亩 产量的一个估计. 三、小结 大 数 定 律 大数定律以严格的数学形式表达了随机现象最根本的性质之一： 平均结果的稳定性 依分布收敛 中心极限定理 中心极限定理的客观背景 在实际问题中许多随机变量是由相互独立随机因素的综合（或和)影响所形成的. 例如：炮弹射击的 落点与目标的偏差， 就受着许多随机因 素（如瞄准，空气 阻力，炮弹或炮身结构等）综合影响的.每个随机因素对弹着点（随机变量和）所起的作用都是很小的.那么弹着点服从怎样分布哪 ？ 如果一个随机变量是由大量相互独立的随机因素的综合影响所造成，而每一个别因素对这种综合影响中所起的作用不大. 则这种随机变量一般都服从或近似服从正态分布. 自从高斯指出测量误差服从正态 分布之后，人们发现，正态分布在 自然界中极为常见. 现在我们就来研究独立随机变量之和所特有的规律性问题. 高斯 当n无限增大时，这个和的极限分布是什么呢？ 由于无穷个随机变量之和可能趋于∞，故我们不研究n个随机变量之和本身而考虑它的标准化的随机变量. 在概率论中，习惯于把和的分布收敛于正态分布这一类定理都叫做中心极限定理. 一、中心极限定理 定理1（独立同分布下的中心极限定理） 注 3、虽然在一般情况下，我们很难求出 的分布的确切形式，但当n很大时，可以求出近似分布. 定理2（李雅普诺夫(Liapounov)定理) 请注意 : 定理3(棣莫佛－拉普拉斯（De Laplace定理） 设随机变量 (n=1,2,‥‥)服从参数n,p(0p1) 的二项分布，则对任意x，有 证 定理表明，当n很大，0p1是一个定值时（或者说，np(1-p)也不太小时），二项变量 的分布近似正态分布 N(np,np(1-p)). 即 下面演示不难看到中心极限定理的客观背景 例:20个0-1分布的和的分布 X1 ~f(x) X1 +X2~g(x) X1 +X2+X3~ h(x) 几个(0,1)上均匀分布的和的分布 0 1 2 3 x f g h 二、例题 例1 于是 解 例2. (供电问题)某车间有200台车床, 在生产期间由于需要检修、调换刀具、变换位置及调换工件等常需停车. 设开工