[理学]概率论及其数理统计第四章.ppt

4.2 方 差 D(X) = 标准差 D(X)=E(X2)-[E(X)]2 方差的计算 例1. 已知随机变量X的分布列为 求X的方差和标准差。 X 2 3 4 pk 0.3 0.4 0.3 解: 例2. 已知随机变量X的分布函数如下,求D(X)。 解: 方差的性质 1. D(aX+b)=a2D(X) ; D(aX)=a2D(X) D(b)=0 D(-X)= D(X) 方差的性质 2. 若X、Y相互独立,D(X+Y) = D(X)+D(Y); 一般地， D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2E{[X-E(X)][Y-E(Y)]} 例3. 设(X,Y)的联合概率密度为 (1) 试求X、Y的边缘密度，并问X与Y 是否相互独立？ (2) 求E(2X+3Y), D(2X+3Y). 解: 所以X与Y相互独立。 3. 切比雪夫不等式 设随机变量X有数学期望μ和方差σ2，则对于任给ε0,有 方差的性质 证: 例4. 设X为随机变量,已知E(X)=μ, D(X)=σ2 ,试用切比雪夫不等式估计 P(|X-μ|≥3σ). 解: 例5. 已知正常男性成人血液中，每一毫升 白细胞数平均是7300，均方差是700 . 利用切比雪夫不等式估计每毫升白细 胞数在5200~9400之间的概率 . 解: 例6. 若X ~ G(p)，求D(X). 解: E(X)=1/p 若X ~ 0-1分布，那么D(X)=p(1-p); 若X ~ B(n,p), 那么D(X)= np(1-p); 若X ~ P(λ), 那么D(X)=λ; 若X ~ G(p)， 那么D(X)=(1-p)/p2. 若X ~ E(λ), 那么D(X)=1/λ2; 若X ~ U[a,b], 那么D(X)=(b-a)2/12; 若X ~ N(μ,σ2)，那么D(X) =σ2. 几何分布 泊松分布 二项分布 0-1分布 方差 期望 概率分布 名称 正态分布 指数分布 均匀分布 方差 期望 概率分布 名称 ——X的标准化随机变量 E(X*)=0, D(X*)=1 E(Xk)——X的k阶原点矩 E{[(X-E(X)]k}——X的k阶中心矩 E(X)——X的1阶原点矩 D(X)—— X的2阶中心矩 4.3 数学期望 方 差 单个变量的数字特征 多个变量间联系的数字特征 协 方 差 相关系数 设(X,Y)为二维随机变量，若 E{[ X-E(X)][Y-E(Y) ]} 存在，则称其为X和Y的协方差，记为cov(X,Y)。 协方差 cov(X,Y)=E{[ X-E(X)][Y-E(Y) ]} =E(XY) -E(X)E(Y) ⑶ cov(X1+X2,Y)= cov(X1,Y) + cov(X2,Y) ⑴ cov(X,Y)= cov(Y,X) ⑵ cov(aX,bY) = ab cov(X,Y) a,b是常数 协方差的性质 cov(X1+X2, X1-X2)= D(X1) - D(X2) (4) X与Y相互独立 cov(X,Y)= 0 为随机变量X和Y的相关系数 设D(X)0, D(Y)0,称 相关系数 * * 4.1 例1. 设甲、乙两车工生产同一种零件，检 验员每天随机地对其抽取10件检查， 经过100天的观察，得到他们所生产的 数量相同的产品中次品数X，Y的结果 分别为： X 0 1 2 3 频率fX 0.1 0.3 0.4 0.2 Y 0 1 2 3 频率fY 0.2 0.2 0.5 0.1 试问：哪个工人技术水平高？ n0天没有出废品; n1天每天出一件废品; n2天每天出两件废品; …… nm天每天出m件废品. 那么n天中每天的平均废品数为 若统计n天,其中 用这个数作为随机变量X的平均值 .这样做是否合理呢？ 设X是离散型随机变量，它的分布律是: 如果级数 绝对收敛,则称 离散型随机变量的数学期望 为X的数学期望. 例2. 设袋中装有2个白球和3个红球，将球 一个一个取出，每次取出后不放回， 求第2次取得红球时的平均取球次数。 解: 例3. 已知