[理学]泛函分析第5章 非线性分析初步.doc

第5章 非线性分析初步 本章主要介绍一些非线性分析的常用概念和基本方法.内容包括抽象函数的微积分,非线性算子的两种微分,反函数和隐函数定理,变分法及非线性最优化. 5.1抽象函数的微分和积分 抽象函数是普通函数在空间中的推广.设是一个空间,是的对偶空间.称为抽象函数. 首先介绍抽象函数的两种连续性. [定义5.3]称在点是连续的,是指；称在点是弱连续的,是指对于每个,有. 如果在的每个点上连续,则称在上连续；如果在的每个点上弱连续,同样,称在上弱连续. 注：若在点连续,则在点弱连续.这是因为对于 所以,反之不然. 类似于普通函数,有如下定理. [定理5.1]若是上的连续函数,则是一致连续的,即对于当且时有 下面来介绍抽象函数的两种导数的概念. [定义5.2]设是一抽象函数,若使 则称在点可微,而称为在点的导数,记为,即 上述极限是在范数意义下取的.若对于每个,普通函数满足 则称在点是弱可微的,称为在点的弱导数. 注：在点可微,则在点是弱可微,反之不然.在点可微,则在点连续. 若在中每一点均可微（点右可微,点左可微）,则在上可微分,且导函数也是一个从到的抽象函数. 例5.1 ,记为 若在点可微,那么 例5.2 若,则在上每一点可微,且(零元).反之,若可微,且,则(中每一常元).事实上,对于每个,可微,且有,故=常数=,于是. [定义5.3]设是一抽象函数,对于分划: 作和 此处,可任取.在记分划的范数为 仿照普通函数的积分定义,抽象函数的积分定义为： 若存在使得对于任何分划若满足时,相应的任何和都成立 即 则称在上是可积的,并称是在上的积分,记为. 与通常函数有相同的性质,即若在上连续,则在上可积. [定理5.2]若在上连续可微,即存在且连续,则(莱布尼兹)成立,即 证明：对,通常函数在上连续可微,且 所以有(因可积) 从而由定理的推论得 [定理5.3]若在内可微,且在上连续,则存在使得 证明：对每个,满足通常函数的微分中值定理的条件.因此由定理的推论,取,且那么存在成立 [定理5.4]设连续,令,则在上可微,且. 证明:对,由于在点连续,因此对于当时,有. 注意到当时有 所以 即 注:在定理5.4的证明中用到了抽象函数积分的如下公式： 若均是上的抽象可积函数,是实数,那么 这些性质的证明完全类似于普通函数,这里略去. 我们还可以定义抽象函数的高阶导数及其幂级数的展式等类似于普通函数的性质,这里就不再讨论了. 习题5.1 1.证明若在点可微,则在点连续. 2.设在上可积,则对每个,有 3.设在点可微,则对每个,有在点也可微. 4.定义内的抽象函数为. 证明:在上可微,且. 5.2非线性算子的微分 本节介绍非线性算子的两种常用微分微分和微分,这是高等数学中多元函数的全微分与方向导数的概念在空间中的推广.本节出现的空间都是指实空间. [定义5.4]设是两个空间,是开集,是算子,,则 称在点连续,是指; 称在点是可微的,如果存在满足 其中,即 此时,称为在点关于的微分,记为,算子称为在点的导算子,并记为； 称在点是可微的,如果对于任意,极限 在中存在,记其极限为,即 此时,称为在点处沿方向的微分,如果微分可以表达为,这里,则称在点具有有界线性的微分,并称为导算子,仍记为. 例5.3 记是由下列函数 所确定的由到的算子.如果每个函数在点附近是连续可微的,那么在点是可微的,并且导算子正好是矩阵 证明:取,根据中值定理,对每个,存在满足 (此处对辅助函数应用中值定理而得),又因为在点连续,所以有 记 则 因此 例5.4设在上二元连续,且关于可导,偏导数在上也二元连续.定义算子为 那么在任意点处可微,且导算子为 证明:取,令,作为的函数在上连续可微,且. 对应用中值定理,有满足 由于连续,因此当时有 令,则 所以 从上面两个例子可见,计算一个具体的算子的微分是比较困难的,它不同于求函数导数那样容易. 为了方便起见, 可微, 可微分别称为可微,可微.下面我们讨论这两种微分之间的关系. [定理5.5]设是开集. 若在点可微,则在点必有有界线性微分,并且 即在点的导算子与导算子相同； 若在的每一点都有有界线性微分,且导算子在点连续,那么在点可微. 证明: 在点附近可表示成 于是当充分小,用代替,有 即