[理学]深圳大学线性代数ppt6.ppt

第四节 行列式按行（列）展开 * * 考察三阶行列式 一. 行列式按一行（列)展开 在 阶行列式中，把元素 所在的第 行和第 列划去后，留下来的 阶行列式叫做元素 的余子式，记作 例如 叫做元素 的代数余子式． 则对于三阶行列式 就有： 引理 一个 阶行列式，如果其中第 行所有元素除 外都为零，那么这行列式等于 与它的代数余子式的乘积，即 ． 例如 证 当 位于第一行第一列时, 即有 又 从而 再证一般情形, 此时 得 得 中的余子式 故得 于是有 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即 证 定理 利用行列式的性质四有 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即 推论 命题得证 把行列式 按第 行展开有 证 把行列式中的 换成 可得 相同 同理 命题得证 关于代数余子式的重要性质 例1 练习 按第三列展开计算行列式 二、应用举例 例2 计算行列式 应用按行（列）展开法则和行列式的性质，将高阶 行列式化为低阶行列式的方法是计算行列式的重要 方法，实际计算时，可先用行列式的性质将行列式 的某一行（列）化为仅含有一个非零元素，再按此 行（列）展开，变为低一阶的行列式，如此继续下 去，直到化为二阶或三阶的行列式。 例3 计算行列式 练习 例4 例5 证明 证 用数学归纳法 例6 证明范德蒙 (Vandermonde)行列式 现在要证等式对n阶范德蒙行列式也成立，为此设法 把行列式降阶 ：从第n行开始，后一行减前一行的 x1倍，有 n-1阶范德蒙德行列式 例7 解 每一行提取各行的公因子，于是得到 　 上面等式右端行列式为n阶范德蒙行列式，由范德蒙行列式知 例8 设 求 例 求第一行各元素的代数余子式之和. 解 第一行各元素的代数余子式之和为