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一、ARIMA模型的概念 ARIMA（Autoregressive Integrated Moving Average Model ）模型,全称为单积（单整）自回归移动平均模型，是由博克思(Box)和詹金斯(Jenkins)于70年代初提出的一著名时间序列预测方法，所以又称为box-jenkins模型、博克思-詹金斯法，也简称 B - J模型。其实质是差分运算和ARMA模型的组合。 图9 残差序列的ADF单位根检验结果 * * 第七章 序列相关和ARIMA模型分析 一 ARIMA模型的概念 四 三 二 ARIMA模型 的基本思想 ARIMA模型预 测的基本步骤 ARIMA模 型案例分析 或者说，所谓ARIMA模型，是指将非平稳时间序列转化为平稳时间序列，然后将因变量仅对它的滞后值以及随机误差项的现值和滞后值进行回归所建立的模型。 ARIMA模型，用数学公式表示就是 ARIMA（p,d,q）,其中AR指自回归，p为模型的自回归项数；MA为移动平均，q为模型的移动平均数；d为差分次数。其一般表达式为： 则称时间序列{Xt}服从p,q阶自回归移动平均模型，简记为ARIMA (p,d,q). 二、ARIMA模型的基本思想 建模的基本思想是:某些时间序列是依赖于时间的一族随机变量,构成该时序的单个序列值虽然具有不确定性,但整个序列的变化却有一定的规律性,可以用相应的数学模型来近似描述。 建立ARIMA模型的前提条件是, 所要分析的时间序列必须是一个平稳的时间序列。对于非平稳的时间序列,要想用ARIMA模型进行分析,必须先对原始序列进行技术处理,使其成为平稳序列,再将此序列表示为ARIMA模型 ，进而在对其分析。一般来说，ARIMA模型使用三种形式对扰动项进行建模分析： (一)、AR自回归项。AR(1)模型是运用了一阶AR项，一般地，可以使用高阶AR项。每一个AR项对应于在无条件残差预测方法中的滞后值。P 阶的自回归模型AR(p)有下面的形式： (二)、单积项。每一单积阶数对应于对序列进行差分。一阶单积意味着对原始序列进行一次差分，二阶单积对应于进行两次差分，依此类推。 (三)、MA移动平均项。移动平均预测模型使用预测误差的滞后值来改善当前预测。一阶移动平均利用前期预测误差，二阶移动平均利用前两期预测误差，以此类推。MA(q)有如下形式： 自回归和移动平均可以结合在一起形成ARMA(p , q)模型，定义为： 三、ARIMA模型预测的基本步骤 （一）、对序列的平稳性进行识别。根据时间序列的散点图、自相关函数和偏自相关函数图以 及ADF单位根检验其方差、趋势及其季节性变化规律,对序列的平稳性进行识别。 （二）、对非平稳序列进行平稳化处理。如果数据序列是非平稳的,并存在一定的增长或下降趋势,则需要对数据进行差分处理,如果数据存在异方差,则需对数据进行技术处理,直到处理后的数据的自相关函数值和偏相关函数值与零无显著差异。（注：数据处理有三种情况，如果时序图1、线性趋势：差分； 2、指数趋势：先取对数再差分； 3、季节性：季节差分（建立季节模型）） （三）、检验变换后序列是否平稳。看变换后序列的时序图，相关图以及单位根检验，综合分析序列是否平稳。如非平稳，考虑再作一次差分。 （四）、根据时间序列模型的识别规则建立相应的模型。若平稳序列的偏自相关函数是截尾的,而自相关函数是拖尾的,可断定序列适合AR模型；若平稳序列的偏自相关函数是拖尾的,而自相关函数是截尾的,则可断定序列适合MA模型；若平稳序列的偏自相关函数和自相关函数均是拖尾的,则序列适合ARMA模型。 （五）、进行参数估计，检验是否具有统计意义。 （六）、进行假设检验，诊断残差序列是否为白噪声。 （七）、利用已通过检验的模型进行预测分析。 四、ARIMA模型案例分析 例：下面根据我国1980—2008年全社会固定资产投资总额数据,介绍模型的建模过程,并通过模型预测3年内固定资产投资额的变化情况。 建立模型涉及的最主要指标是我国固定资产投资，本文选取的1980-2008年我国固定资产投资额数据来源于2009《中国统计年鉴》。原始数据见表1。 29854.71 1999 4410.4 1989 172828.4 2008 28406.2 1998 4753.8 1988 137323.9 2007 24941.1 1997 3891.7 1987 109998.2 2006 22974 1996 3120