[理学]理论力学第六章.ppt

第六章：分析力学 §6.1 约束 自由度和广义坐标 力学系统：由相互作用着的质点所构成的系统，或称为力学体系或体系 位形：力学系中各质点的位置状态称为力学系的位形。包含 n 个质点的力学系位形需要 3n 个坐标参量来确定 约束：在一个力学体系中，如若存在一些限制质点自由运动的条件，则这些限制条件称为约束（其表现为在运动过程中各质点位置和速度必须满足一定的关系） 力学体系的约束可以表示为约束方程 对于完整系，确定系统位置所需要的独立坐标的数目，称为该系统的自由度 对于具有n个质点的力学体系，若存在k个约束（方程），则确定体系位形变化的3n个坐标参量中有s=3n-k个参量可以独立变化，其中 s 称为体系的自由度 广义坐标： 在给定的约束条件下能完全确定系统位置的一组独立变量称为系统的广义坐标 广义坐标的表示：广义坐标一般用符号 q 表示，如果系统有s个自由度，就需要 s 个广义坐标，称为拉格朗日广义坐标 §6.2 虚功原理 （一）实位移和虚位移 虚位移和实位移的区别与联系 （二）理想约束和虚功原理 例子：如图所示提升重物的装置，如果F为提升重物所需要的力的最小值，以把手端点的弧坐标s为广义坐标，设重物距地面高度为h，则根据虚功原理有 （三）虚功原理的广义坐标表述和广义力 例题：有一固定的直角三棱柱，其斜边水平固定放置，现有一条匀质的绳索跨在棱的两边，不计摩擦，证明绳索平衡时，它的两端点必在同一水平面上 虚功原理主要用于求解： （四）虚功原理的不定乘子法 上述求约束力的方法称为拉格朗日不定乘子法，其中待定系数 称为拉格朗日不定乘子 例题：一质量为m的质点被限制在光滑球面上运动，已知球面的半径为a,求质点的平衡位置和约束力 §6.3 泛函、变分、哈密顿原理 （一）泛函和变分 具体做法 变分与微分的区别 泛函的变分 更一般的情况 两点间直线最短的问题 哈密顿原理 “可能运动”必须满足的条件 哈密顿原理的数学表述 从哈密顿原理（哈密顿最小作用量原理）推导拉格朗日方程 例题：质量为m的质点，在重力场中以与水平线成 角的初速度v抛射，根据哈密顿原理，求质点的运动微分方程 §6.4 从牛顿力学到拉格朗日方程 （一）达朗贝尔原理 达朗贝尔-拉格朗日方程 基本形式的拉格朗日方程 有势系的拉格朗日方程 循环坐标和广义动量积分 例子：一自由质点在有心力作用下运动，若采用直角坐标，则相应的拉格朗日函数为 例题：质量为m的质点，被约束在半顶角为 的光滑固定圆锥面内运动，试通过拉格朗日方程，写出质点的运动微分方程 §6.5 拉格朗日方程的应用 §6.6 微振动 §6.7 哈密顿函数和正则方程 受理想约束的完整系的拉格朗日方程 对于有势体系，广义力为 则拉格朗日方程变为 移项整理得 把 定义为拉格朗日函数，则拉格朗日方程变为 受理想约束的完整有势系的拉格朗日方程 拉格朗日函数对广义速度的偏导数，称为力学系的广义动量 若广义坐标 为线坐标，则 是线动量 若广义坐标 为角坐标，则 是角动量 若某一广义坐标 在拉格朗日函数中不出现，则有 根据拉格朗日方程可得 则其所对应的第一积分为 在体系的拉格朗日函数 L内不出现的广义坐标，称为该体系的循环坐标，其所对应的第一积分为该循环坐标的广义动量积分 若使用平面极坐标，则有 主要思想和观点：对体系中各质点上的约束用相应的约束力来取代，从而认为各质点在力（主动力和约束力）的作用下各自独立地运动，而引入不定乘子的目的则是为了将需要求解约束力与相应的约束方程“挂起钩”来 第6章作业：1、2、7、10、12、14、18、 21、23 泛函：以函数为变量的的函数叫做泛函 泛函数的极值求法： 被积函数 为 和 的连续 可微函数 连接 和 两点的曲线 目的：在众多的可能的曲线中挑出一条使泛函数 为极值！ 当自变量的值相同时两个相差甚微的函数值间的差异 称为函数的变分或变更 取一条与 相差无几的曲线 满足 变分：是两个相近邻函数间的差异 由函数形式的差异性所导致的 微分：是函数 随其参量 真实改 变 时的增量 分别由两相近函数 和 给出的泛函值之差，称为泛函的变分 由于函数 和 间仅有微小差异，可作如下泰勒展开 使用关系式 联立上述各式子可得 两曲线具有共同的端点，在端点处有 泛函数取极值的条件是泛函的变分为零，即满足关系 上式积分中 是参量 的任意微小函数，因而使得上式成立的条件是被积函数中大括号内的函数等于零，即有 泛函变分的欧拉方程 设有l个函数 ， 表示f是2l个函数 和