[理学]电动力学讲义第10讲.ppt

山东大学物理学院 宗福建 《电动力学》第10讲 第二章 电磁场的标势、矢势和电磁辐射(4) §2.4 讯变电磁场的矢势和标势 教学体系 Maxwell方程组 Maxwell方程组 标势 的Poisson方程 静电场的标势 若电荷连续分布，电荷密度为ρ ，设r为由源点x 到场点x的距离，则场点x处的电势为 静磁场的矢势 在稳恒电流（静磁场）情况下，电场与磁场无关，麦氏方程组的磁场部分为 静磁场的矢势 根据矢量分析的定理（附录Ⅰ.17式）, 若 则 B 可表为另一矢量的旋度 A 称为磁场的矢势。 矢势微分方程 对比静电势的解可得矢势方程的特解 式中x 是源点，x是场点，r为由x 到x的距离。 矢势的多级展开 如果电流分布于小区域V内，而场点x又距离该区域比较远，我们可以把A（x）作多级展开。取区域内某点O为坐标原点，把1/r的展开式得 矢势的多级展开 本讲主要内容 用势描述电磁场 规范变换和规范不变性 d’Alembert 达郎贝尔方程 推迟势 用势描述电磁场 为简单起见，我们只讨论真空中的电磁场，麦克斯韦方程组为 用势描述电磁场 在恒定场中， 由B的无源性引入矢势A，使 在一般情况下，B仍然保持无源性，所以B与矢势A的关系式普遍成立的。 矢势A的物理意义是：在任一时刻，A沿任意闭合回路的线积分等于该时可通过回路的磁通量。 用势描述电磁场 在一般的变化情况中，电场E的特性与静电场不同。电场E一方面受到电荷的激发，另一方面也受到变化磁场的激发，后者所激发的电场是有旋的。因此在一般情况，电场是有源和有旋的场，它不可能单独用一个标势来描述。 用势描述电磁场 在变化情况下电场与磁场发生直接联系，因而电场的表示式必然包含矢势A在内。 把 代入 得 用势描述电磁场 该式表示矢量 E+?A/?t 是无旋场，因此它可以用标势φ描述， 因此，一般情况下电场的表示式为 用势描述电磁场 把电磁场用矢势和标势表示出来。 注意现在电场E不再是保守力场，一般不存在势能的概念，标势φ失去作为静电场中势能的意义。 因此，在高频系统中，电压的概念也失去确切的意义。 在变化场中，磁场和电场是相互作用的整体，必须把矢势和标势作为一个整体来描述电磁场。 规范变换和规范不变性 用矢势A和标势φ描述电磁场不是唯一的，即给定的E和B并不对应唯一的A和φ 。 这是因为对矢势A可以加上一个任意函数的梯度▽ψ ，结果不影响B，而这加在A上的梯度部分在E式中有可以从-?ψ/?t中除去，结果亦不影响E。 规范变换和规范不变性 设ψ为任意时空函数，作变换 规范变换和规范不变性 有 规范变换和规范不变性 即(A’ , φ’)与(A , φ )描述同一电磁场。 变换 称为势的规范变换。 每一组(A , φ )称为一种规范。 规范变换和规范不变性 在经典电动力学中，由于表示电磁场可观属性的可测量的物理量为E和B，而不同规范有对应着同一的E和B ，因此，如果用矢势来描述电磁场，客观规律应该和势的特殊的规范选择无关。 当势作规范变换时，所有物理量和物理规律应该保持不变，这种不变性称为规范不变性。 规范变换和规范不变性 从数学上来说，规范变换自由度的存在是由于在势的定义式 中，只给出A的旋度，而没有给出A的散度。 我们知道仅由矢场量的旋度是不足以确定这矢量场的。为了确定A，还必须给定它的散度。电磁场E和B本身对A的散度没有任何限制。 因此，作为确定势的辅助条件，我们可以取▽?A为任意的值。 规范变换和规范不变性 每一种选择就对应一种规范。采用适当的辅助条件可以使基本方程和计算简化，而且物理意义也较明显。从计算方便考虑，在不同问题中可以采用不同的辅助条件。应用最广的是以下两种规范条件： 规范变换和规范不变性 （1）库仑规范 辅助条件为 在这规范中A为无源场，因而电场表示式 中第二项 ??A/?t是无源场（横场），而第一项 ?▽φ为无旋场（纵场）。 规范变换和规范不变性 这规范的特点是E的纵场部分完全由φ描述。而横场部分由A描述，??A/?t项不含纵场部分。?▽φ项对应于库仑场，??A/?t项对应于感应电场。这种划分对于讨论某些问题是方便的。 规范变换和规范不变性 （2）洛伦兹规范 辅助条件为 采用这种规范时，势的基本方程化为特别简单的对称形式，其物理意义也特别明显。因此，这种规范在基本理论研究以及解决实际辐射问题中是特别方便的。 达朗贝尔（d’Alembert）方程 由麦克斯韦方程组推导势A和φ所满足的基本方程。 把 代入 达朗贝尔（d’Alembert）方程 得 达朗贝尔（d’Alembert）方程 应