[理学]电子科技大学2010级微积分下期末复习.ppt

证明: * 微积分疑难分析系列讲座 无穷级数 5月25日（星期三）晚 7：20 地点：A203 微积分(下)期末考试要点 题型分析： 填空题 15% 基本计算题 55-65% 证明题 5-15% 选择题 15% 选择题常考内容： 1、多元函数连续、可微、可偏导之间的关系； 2、求多元数量值函数积分：二重积分、三重积分、 　第一类线、面积分计算. (注意对称性) 3、幂级数的阿贝尔定理； ５、一个给定级数的收敛情况． 　（是绝对收敛　或条件收敛　或发散　或不定） ４、傅立叶级数的狄立克莱收敛定理； 务必掌握的计算： 1、二阶线性常系数非齐次微分方程 y’’+ay’+by=f(x) 的求解. 2、求多元函数的偏导数. 3、求多元函数的(无条件、条件）极值． 4、求空间曲线的切线与法平面； 　 求空间曲面的切平面与法线； 尤其是抽象函数的偏导数. 如: z=f(xy , x-y); 方程所确定的隐函数的偏导数.如: ６、用格林公式计算第二类曲线积分； 　　用高斯公式计算第二类曲面积分． ７、求幂级数的收敛域及其和函数; 将函数f(x)展开为幂级数、傅立叶级数． 5、计算二重积分、三重积分、第一类曲面积分、 　　第二类曲面积分． 或二型线积分与路径无关. 证明题常考内容： 主要是关于常数项级数的收敛性证明； （仅2003,2008年没有考） 多元函数连续、可导、可微的关系 函数可微 函数连续 偏导数连续 函数可偏导 例　选择题 Ｃ B 二重积分的计算步骤 1、作积分区域图. 2、根据区域的形状及被积函数的结构选择坐标系； 3、化二重积分为二次积分； (1)直角坐标系中，需确定是先对y后对x积分还是先对x后对y积分; (2)极坐标系中，一般是先对r后对?积分. 注意: (1)坐标系选择不当,不仅会增加计算难度,而且还可能导致积不出来； (2)直角坐标系中，积分次序选择不当,也可能会增加计算难度,甚至积不出来； 一、三重积分在直角坐标系下的计算 二、三重积分在柱面坐标系下的计算 三、三重积分在球面坐标系下的计算 三重积分的计算 法1: “先一后二法”(投影法) 法2: “先二后一法”(截面法) 三重积分在直角坐标系下的计算： 而 容易积分时,才考虑“先二后一法”. 注: 当 截面D z容易确定、容易表达； (1) “先一后二法”(投影法) (2) “先二后一法”(截面法) 三重积分在柱坐标下的计算： 方法： 则可选用柱坐标系. 若 (1)被积函数为f(x2+y2) ； (2)区域V的边界面的方程含x2+y2 ； （如边界面为球面、圆柱面、圆锥面、旋转抛物面等） 实质： 将直角坐标系中的“先一后二”法或 “先二后一”法中的“二”在极坐标系中计算. 球坐标最佳适用情况： ? 被积函数为f(x2+y2 +z2 )； 区域V的边界面为球面、圆锥面等. ＊　球面坐标的体积元素 三重积分在球面坐标下的计算： 方法三、(直接法) 化为定积分。 方法二、格林公式: 方法一、积分与路径无关, (注意:积分无关的区域 D 必须是单连通区域!) (注意:(1)积分曲线 L 要封闭; (2)P,Q函数要在区域D内有连续偏导.) 第二类曲面积分的计算 方法二：总投影法（定义法）; 方法三：分别投影法. 方法一：高斯公式法; (注意:曲面S要封闭!) 注意： 1. 线、面积分的被积表达式中的(x,y,z) 满足积分曲线或曲面的方程。 利用对称性可简化积分的运算. (但第二类线、面积分的对称性不仅与被 积函数及积分区域有关而且还与积分区域的方向有关！) （但二重积分与三重积分没有此特性！） 故可由曲线(曲面)方程进行等值代换来化简被积表达式化简!! 分析: