[理学]相似矩阵.ppt

* §4.2 （一）、相似矩阵的概念及性质 定义4.3（P183） 对于矩阵A、B，如果存在 可逆矩阵P，使 则称 A与 B 相似， 记为: 即 A 可“化成” B . （2） 有以下几个结果： 若 且 ，则 。 若 ，则 。 注 （1） A, B 不一定可逆。 概念 例 （P.183） — 非对角阵 — 对角阵 有 A ~ B ~ B 点评：对给定的数字矩阵，一般不用定义判别它 们是否相似，其判别法以后介绍。 定理4.4 （P.184） A ~ B ? A,B 的特征值相同。 证明：设 ，则存在可逆矩阵P，使得 即A与B的特征多项式相同， 性质 A ~ B ? A,B 的特征值相同。 证明思路：欲证 |?I-B|= |?I-A| 1. 因此A与B的特征值相同。 例 ~ 2. A ~ B ? r(A)=r(B) A ~ B ? r(A)=r(B) 证 ~ B 3. A ~ B ? |A|=|B| A ~ B ? |A|=|B| 证 ~ B 4. A ~ B ? A,B 均可逆，或均不可逆， ~ 证 ~ B ? r(A)=r(B) ? 有相同的可逆性。 若可逆，由 ~ 5. A ~ B ? ~ 证 因 A ~ B， 存在可逆阵P使得 所以 ~ ＃ 一般： ~ ~ 证 （练习） ~ ~ ~ 例 ~ 解 由性质知，A与B有相同的特征值， B的特征值为：-1,c,2. 又 由性质知，A与B有相同的行列式， 另法： 矩阵的相似对角化需解决以下问题： 若矩阵可相似对角化，那么对角矩阵的对角元为何？ 1. 什么条件下矩阵可相似对角化？ 对于n 阶矩阵A ，若与一对角阵相似， 则称A 可对角化或相似对角化。 （二）、矩阵的对角化 3. 如何求可逆矩阵P？ 定理4.5 （P.185） 其中 是A的全部特征值(k重根算k个)。 n 阶矩阵 A ~ ? A 有n 个线性无关的特征向量。 证 “?” ~ “?” ? ? ? ? ? ? # 回答了3个问题： ?当线性无关的特征向量个数＝A的阶数时， A可对角化； ?相似对角阵的对角元为A的n个特征值； ?可逆阵P的列向量依次为n个特征向量。 P.178例2 A 为3阶阵，但只有两个线性无关的特征向量， 故A不能对角化。 P.178例3(P.187) 因A 有3个线性无关的特征向量(由Th4.3′)， A ~ ?I:－2 1 1 所以A可以对角化，且 1. 能否取 能！ ?i:－2 1 1 同一对角阵，P可能不唯一。 ?I: 1 -2 1 若A 能对角化，其相似对角阵除了对角元的顺序外，是唯一的。 注： 求例3中 所以 解 小结论： ~ 推论 A 有 n 个互异特征值 （全是单根） ＃ 充分性： 定理4.6 （P.188) n 阶矩阵A与对角矩阵相似 ? 对于每一个 重特征根 ， 点评：如果只需知道矩阵A “能对角化” 或 “不能对角化” ，而不需求可逆阵P，可用上面的推论和定理。 或 例 用定理4.6判别P.178例2，例3 中矩阵 A是否 可对角化。 例2 例3 （三）关于约当形矩阵的概念 约当块 例 是约当块 不是约当块 约当矩阵 或约当标准形 例 都是约当矩阵 定理4.7（P.190） 任意 n 阶矩阵 A ~ J , 例 （P.178 例2） 不能对角化 但 A ~ 例 （P206） 习题四 1（2） 线性无关的特征向量只有两个，故A不能对角化， 但 A ~ ＃ 接实对称阵 补充例题 1. A ~ kI，求A。 解 2. 三阶矩阵A的特征值为：1，－1，2。 解 由此可得B的特征值为：0，－2，－8 因 0 是B的特征值，所以B不可逆，故|B|=0. 或 或 ~ （2）因A的特征值全不为零，所以A可逆；B不可逆。 *