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[理学]矩阵分析4
于是有 如果令 从而有 其中 是半正定的H-矩阵, 是 酉矩阵。 由上面的结论可以给出正规矩阵的另外一种刻划。 定理:设 ,则 是正规矩阵的充分必要条件是 其中 是半正定的H-矩阵, 是酉矩阵,且 矩阵的谱分解 我们主要讨论两种矩阵的普分解:正规矩阵与可对角化矩阵。 设 为正规矩阵,那么存在 使得 将上面的式子矩阵化,即为 (2)首先判断出 ,由定理可知必存在 ,以及三阶正线上三角矩阵 使得 推论:设 ,则 可分解为 其中 , 是 阶正线上三角矩阵, 是 阶正线下三角矩阵。 矩阵的奇异值分解 引理 1 :对于任何一个矩阵 都有 引理 2 :对于任何一个矩阵 都有 与 都是半正定的Hermite-矩阵。 设 , 是 的特征值, 是 的特征值,它们都是实数。如果记 特征值 与 之间有如下关系。 定理:设 ,那么 。同时,我们称 为矩阵 的正奇异值,简称奇异值。 例 :求下列矩阵的奇异值 解: (1)由于 显然 的特征值为5,0,0,所以 的奇异值为 (2)由于 显然 的特征值为 2,4,所以 的奇异值为 。 例 2 证明:正规矩阵的奇异值为其非零特征值的模长。 定理:设 , 是 的 个奇异值,那么存在 阶酉矩阵 和 阶酉矩阵 使得 其中, 且满足 。 证明: 由于 ,所以 的特征值为 因为 是一个H-阵,所以存在 阶酉矩阵 且满足 将酉矩阵 按列进行分块,记 ,其中 于是有 从而有 记 ,这里 令 ,那么容易验证 选取 使得 是酉矩阵,则 由上述式子可得 这里,要注意 。 我们称此定理为奇异值分解定理。称表达式 为矩阵 的奇异值分解式。 如何求此分解表达式?特别要注意下面的关系式 即 由此可知 的列向量就是 的标准正交特征向量;而 的列向量就是 的标准正交特征向量。 例 :求下列矩阵的奇异值分解表达式 解 : (1)容易计算 的特征值为5,0,0,所以 的奇异值为 。下面计算 的标准正交特征向量,解得分别与5,0,0对应的三个标准正交特征向量 由这三个标准正交特征向量组成矩阵 ,所以有 再计算 的标准正交特征向量,解得分别与5,0对应的两个标准正交特征向量 由这两个标准正交特征向量组成矩阵 那么有 于是可得奇异值分解式为 解 :(2)容易计算 ,那么 的非零奇异值为 , 对应于特征值5,2的标准特征向量为 由这两个标准正交特征向量组成矩阵 那么有 再计算 的标准正交特征向量,解得分别与5,2,0,0对应的两个标准正交特征向量 由这四个标准正交特征向量组成矩阵 ,所以有 于是可得奇
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