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第四章 矩阵函数 在前三章中，大体介绍了线性代数中的基本概念和一些常用的方 法。我们当然会感到在把抽象的有限维线性空间V( F ) 、U( F ) 经过同 构处理，具体化为F n ( F ) 和F m ( F ) 后，对V( F ) →U( F ) 的线性映射的 研究，就随之而具体化为对矩阵的研究，这种方法本身是有趣而有效 的。对比在数学分析中的概念，矩阵其实就是“函数”，所不同的只 是矩阵作用于向量，产生新向量。所以也称之为线性算子。特别是线 性变换，其矩阵表示为方阵，可以反复作用于一个向量，如： 2 k x , Ax , A x , A x ，这样就会出现向量序列和算子序列。自然也就会 产生收敛与否这类问题。因此把数学分析的收敛之类的概念结合进线 性代数中来，有其必要。然而在建立收敛这类概念时，不可避免的要 研究如何描述向量之间、矩阵之间的逼近程度这类问题。范数就是为 描述这方面的问题而产生的概念。有了范数，就可以进行判定序列和 级数的收敛性，于是又开辟了对矩阵函数研究的途径。 §4.1 范数（Norm） 设在n 维线性空间V( C ) 中，要研究向量序列 x (1) , x (2) , x (k ) , x (i) ∈V （4.1—1） 的收敛性。我们当然会利用关于数列收敛的知识，来进行研究。不妨 认为在空间V 中，取定了基e(1) , e(2) , e(n) 则 ⎛x (i) ⎞ ⎜ 1 ⎟ (i) ( ) (1) (2) ( ) ⎜x ⎟ i n 2 (i) x ( e , e , e ) ⎜ ⎟ xj ∈C ⎜ ⎟ ⎜ (i) ⎟ x ⎝ n ⎠ 要研究（4.1—1）式的收敛与否，由于取定了基，就化为研究分量序 列的收敛性，这就便于直接引用有关于数项序列收敛性的讨论结果 了。于是相应于（4.1—1）式中的向量序列，就有n 个数列： x (1) , x (2) , x (k ) , j 1, 2, n j j j 倘若这n 个数列都是收敛的，比如，收敛于x (0) ，自然就可认为： j (1) (2) (k ) x , x , x , 收敛于 (0) ，即 k →∞， (k ) (0) （4.1—2）