[理学]福建专升本定积分习题课.ppt

第五章 定积分习题课 * 1．定积分的定义： 2．定积分的几何意义： 用图表示: 一、定积分的概念与性质 曲边梯形的面积 (2)近似: ;(3)求和;(4)取极限 定积分定义的四要素：(1)分割: ; 3．可积的充分条件 ① 若 在区间 上连续，则 在 上可积. ② 若 在区间 上有界，且只有限个间断点， 则 在 上可积. 4．定积分的性质 ①反号性： ②与积分变量无关性： ③线性性质： ④区间可加性: ⑤区间长： ⑥保号性：如果在区间 上, ，则 ⑦单调性：如果在区间 上, 则 ⑧估值定理：设 和 分别是函数 在区间 上的 最大值和最小值，则 ⑩奇偶对称性：若 在 上连续，则 二、积分上限函数与牛顿—莱布尼兹公式 1．积分上限函数： 是奇函数 是偶函数 0， 设函数 在区间 上连续，则称 ⑨定积分中值定理：如果函数 在闭区间 上连续, 则至少存在一点 ,使下式成立： (定积分与积分变量记法无关) (1) (2) (3) 3．牛顿—莱布尼兹公式：若函数 为连续函数 在区间 上的一个原函数，则 2．积分上限函数的微分 三、定积分的计算方法 求定积分的总体原则：先求被积函数 的原函数 ,然后利用牛顿—莱布尼兹公式计算，即 1．换元积分法 （1）凑微分法： （2）变量置换法：函数 满足条件： 2．分部积分法： 四、反常积分 1．无穷限的反常积分 2．无界函数的反常积分 设 为 的瑕点, 则 设 为 的瑕点,则 设 为 的瑕点，则有 五、典型例题 解： 由于 在 上连续, 且 是 在 上的一个原函数，故 【例1】设 在 上有连续导数，且 是 在 上的一个原函数, , 求 【例2】求定积分 解： 注：当定积分的被积函数中包含绝对值符号时，必须设法将 其去掉，并且要特别注意被积函数的符号． 【例3】设 , 求 解: 【例4】设 求 分析：利用变量代换将 在 上的定积分 化为 在 上的定积分再计算。 解:设 ,则 【例5】设 为连续函数，求 解: 令 , 则 ,当 时, 当 时, 则 故 【例6】设 ,求 解: 由 , 得 则 所以 【例7】求定积分 解:设 ,则 【例8】计算定积分 解: 令 则 当 时, 当 时, 【例9】计算定积分 解: 【例10】求定积分 分析：由于积分区间为对称区间，可考虑被积函数是否具有奇偶性或部分具有奇偶性． 解: 原式 【例11】设 求 解：因为 所以 【例12】 设 在 上有一阶导数， 求 分析：函数 是一个积分上限函数．将 看成 定积分时， 是积分变量， 是常量, 将其视为函数时， 是函数的自变量． 解: 【例13】求极限 解: 易错提醒：在求含有积分上限函数的极限时，一定要验证是不是