[理学]离散 chapter5代数系统 信计.ppt

* (2)A,★是独异点 证明:有幺元 ?a?f(A),则?x?A,有 a=f(x),e?A,f(e)?f(A) ?a*f(e)=f(x)*f(e)=f(x★e)=f(x)=a f(e)*a=f(e)*f(x)=f(e★x)=f(x)=a ?f(e)是f(A),*的幺元, ? f(A),*是独异点。 * (3)A,★是群 证明:?a?f(A),则?x?A,有a=f(x),求f(x)的逆元？ 因为A,★是群,故x有逆元x-1,且f(x-1)?f(A) ?f(x)*f(x-1) =f(x★x-1) =f(e) =f(x-1★x) =f(x-1)*f(x) f(x)的逆元为f(x-1) 即f(x)-1= f(x-1) ? f(A),*是群。 * (4) A,★是阿贝尔群 证明:?a,b?f(A),?x,y?A, a=f(x),b=f(y) a*b =f(x)*f(y) =f(x★y) =f(y★x) =f(y)*f(x) =b*a f(A),*也是阿贝尔群 * 6.同态核 定义5-8.4:设f是由群G,★到群G’,*的同态映射,e’是G’的么元,称ker(f)={x|x?G?f(x)=e’}为f的同态核。 * 同态核 例5-8.3 求同态核 已知：f:I,+?N5,+5,?x?I,f(x)=x mod 5 则?x,y?I,f(x+y)=(x+y)mod 5 =(x mod 5) +5 (y mod 5)=f(x)+5f(y) ?f是从I,+到N5,+5的同态 解：N5,+5是群，且幺元为0， ?ker(f)={x|x?I?f(x)=0}={0,5,-5,10,-10,?} * 定理5-8.3:f是群G,★到G’,*的同态,则ker(f),★是群G,★的子群; 证法一: (1)?x,y?ker(f),则f(x)=e’,f(y)=e’ ?f(x★y)=f(x)*f(y)=e’*e’=e’ ?x★y?ker(f)，封闭性成立 (2)结合性成立 (3)f(e)=e’，e?ker(f),幺元存在， (4)?x?ker(f),则因f(x-1)=f(x)-1 =(e’)-1=e’ ?x-1?ker(f) ? 结论成立 ker(f),★是群G,★的子群 * 定理5-8.3:f是群G,★到G’,*的同态,则ker(f),★是群G,★的子群; 证法二: ①显然ker(f)?G,非空。 ②?x,y?ker(f),需证x★y-1?ker(f) f(x★y-1)=f(x)*f(y-1)=e’*e’=e’ ? x★y-1?ker(f) ? ker(f),★是群G,★的子群 ker(f),★是群G,★的子群 * 本节小结 掌握同构的基本概念及相关性质 掌握不同代数系统间同态的性质 理解代数系统间的同构关系是等价关系 掌握并能求同态核 理解同余关系 * 5-9环和域 本节讨论具有二个二元运算的代数系统 知识点： 1.环定义及相关性质 2.特殊环：交换环、含幺环、零因子环、整环 3.域 重点、难点 * 1.环的定义及性质 (1)环定义 定义5-9.1 若代数系统A,★,*具有如下性质: ① A,★是个阿贝尔群 ② A,*是个半群 ③ *对★可分配, 即?a,b,c?A, a*(b★c)=(a*b)★(a*c) (b★c)*a=(b*a)★(c*a) 称A,★,*是一个环 * 环定义例 例5-9.1 (1)I,+,?是个环 (2)Nk,+k,?k是个环 证明:①I,+是个阿贝尔群,0是加法么元 ②I,?是个半群 ③?a,b,c?I a?(b+c) =a?(b+c) =(a?b)+(a?c) * 环定义例 例5-9.1 (1)I,+,?是个环 (2)Nk,+k,?k是个环 证明:①Nk,+k是个阿贝尔群,0是+k么元 ②Nk,?k是个半群 ③?a,b,c?Nk a?k(b+kc) =a?k((b+c)mod k) =(a?(b+c))mod k =((a?b)+(a?c))mod k =(a?b)mod k+k(a?c)mod k =(a?kb)+k(a?kc) * 环说明： A,★,* (1)A,★是群，因此关于★的幺元，记为? ； a关于★的逆元a-1记为-a,a+(-b)可写为a-b。 (2)若*，有幺元，则记为1，a关于*的逆元记为a-1。 (3)讨论的环，都有|A|≥2 (4)在环的定义中，不要求★对于*满足分配律。 (5)以后的环都记为A,+,? * (2)环的性质 定理5-9.1 设A，+，?是个环,?a,b,c?A,[a+(-b)]简记a-b.