[理学]离散数学 第二章随机变量及其分布.ppt

* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 设 X ~ N(? , ? 2), 则随? 的增大， 概率 P{| X? ? | ? } ( ) ① 单调增大 ② 单调减少 ③ 保持不变 ④ 增减不定 ③ 课堂练习(3) 正态分布的 3? 原则 设 X ~ N(?, ?2), 则 P( | X?? | ? ) = 0.6826. P( | X?? | 2? ) = 0.9545. P( | X?? | 3? ) = 0.9973. §2.5 随机变量函数的分布 问题：已知 X 的分布，求 Y = g(X) 的分布。 例如： Y1 = 4X +3； Y2 = |X|； Y3 = ?X2 . 当 X 为离散随机变量时， Y = g(X) 为离散随机变量. 将g(xi) 一一列出, 再将相等的值合并即可. (一） 离散随机变量函数的分布 例1 已知随机变量X的概率分布为 X -1 0 1 2 P 1/3 2/9 1/9 1/3 求 （二） 连续型随机变量函数的分布 分布函数法： (正态变量的线性不变性) 例1 设 X ~N (?, ?2)，则当a ? 0 时， Y = aX+b ~ N (a? +b, a2?2). 由此得： 若 X ~N (?, ?2)， 则 Y = (X? ?)/? ? N(0, 1). 公式法： 设 X ~ fX(x)，y = g(x) 是 x 的严格 单调函数，记 x = h(y) 为 y = g(x) 的反函数, 且h(y)连续可导，则Y = g(X)的密度函数为: 公式法的推广： 例2 设 X ~ 求 Y =eX 的分布. y = ex 单调可导, 反函数 x = h(y) = lny, 所以当 y 0 时, 由此得 解： (对数正态分布) 例3 设 X ~N (?, ?2)，则 Y = e X 的服从 续题： 设 X ~N (?, ?2)，则 Y = X2 的分布密度为 （两种方法） 例4 设 FX (x) 为X 的分布函数，若FX (x)为严格单调增的连 续函数，则Y = FX (X) ~ U(0, 1). 解： 例5 解： 例6 解： 课堂练习： 对一圆片直径进行测量，其值服区间[5,6]上的均匀分布，求圆片面积的概率密度。 * * * * * * * * * * * * * * * * 密度函数的性质 满足(1) (2)的函数都可以看成某个连续随机变量的概率密度函数. (非负性) (正则性) 注意(1) (1) (2) F(x) 是 (?∞, +∞) 上的连续函数; 注意（2） 连续随机变量X的可能取值充满某个区间 (a, b). 因为对连续随机变量X，有P(X=x)=0， 所以无法仿离散随机变量用 P(X=x) 来描述连续随机变量X的分布. 注意离散随机变量与连续随机变量的差别. 连续型 密度函数 2. 4. P(X=a) = 0 离散型 分布列: pn = P(X=xn) 2. F(x) = 3. F(a+0) = F(a); P(aX?b) = F(b)?F(a). 4. 点点计较 5. F(x)为阶梯函数。 5. F(x)为连续函数。 F(a?0) = F(a). F(a?0) ? F(a). 例5 求 (1) 常数 k. (2) F(x). (1) k =3. (2) 解： 设 X 的分布密度为 例6 设连续型随机变量的分布密度 求（1）常数A 解： 例7 设连续型随机变量X的分布函数为 求：（1）系数A； 解： 课堂练习（1） 设 X 的分布密度为 求 F(x). 解： 设 X ~ f(x)，且 f(?x) = f(x)，F(x)是 X 的分布函数， 则对任意实数 a0，有( ) ① F(?a) =1? ② F(?a)= ③ F(?a) = F(a) ④ F(?a) = 2F(a) ? 1 课堂练习（2） ② 连续型随机变量的常见分布 均匀分布 指数分布 正态分布 记为X ~ U(a, b) （1）均匀分布 X ~ U(2, 5). 现在对 X 进行三次独立观测，试求至少有两