[理学]离散数学 第四章 二元关系和函数.ppt

第4章 二元关系与函数 4.1 集合的笛卡儿积与二元关系 4.2 关系的运算 4.3 关系的性质 4.4 关系的闭包 4.5 等价关系和偏序关系 4.6 函数的定义和性质 4.7 函数的复合和反函数 4.1 集合的笛卡儿积和二元关系 有序对 笛卡儿积及其性质 二元关系的定义 二元关系的表示 有序对 定义 由两个客体 x 和 y，按照一定的顺序组成的 二元组称为有序对，记作x,y 实例：点的直角坐标(3,?4) 有序对性质 有序性 x,y?y,x （当x? y时） x,y 与 u,v 相等的充分必要条件是 x,y=u,v ? x=u ? y=v 有序 n 元组 定义 一个有序 n (n?3) 元组 x1, x2, …, xn 是一个 有序对，其中第一个元素是一个有序 n-1元组，即 x1, x2, …, xn = x1, x2, …, xn-1, xn 当 n=1时, x 形式上可以看成有序 1 元组. 实例 n 维向量是有序 n元组. 笛卡儿积 笛卡儿积的性质 性质的证明 例题 二元关系的定义 从A到B的关系与A上的关系 A上重要关系的实例 A上重要关系的实例（续） 实例 例如 A = {1, 2, 3}, B ={a, b}, 则 LA={1,1,1,2,1,3,2,2,2,3,3,3} DA={1,1,1,2,1,3,2,2,3,3} 关系的表示 实例 4.2 关系的运算 基本运算定义 定义域、值域、域 逆、合成、限制、像 基本运算的性质 幂运算 定义 求法 性质 关系的基本运算定义 关系的基本运算定义（续） 合成运算的图示方法 限制与像 定义 F 在A上的限制 F?A = {x,y | xFy ? x?A} A 在F下的像 F[A] = ran(F?A) 实例 R={1,2, 2,3, 1,4, 2,2} R?{1}={1,2,1,4} R[{1}]={2,4} R??=? R[{1,2}]={2,3,4} 注意：F?A?F, F[A] ?ranF 关系基本运算的性质 关系基本运算的性质（续） 关系基本运算的性质（续） A上关系的幂运算 幂的求法 幂的求法（续） 幂的求法（续） 幂运算的性质 幂运算的性质（续） 幂运算的性质（续） * * 例1 2, x+5 = 3y? 4, y，求 x, y. 解 3y? 4 = 2, x+5 = y ? y = 2, x = ? 3 定义 设A,B为集合，A与B 的笛卡儿积记作A?B， 即 A?B ={ x,y | x?A ? y?B } 例2 A={1,2,3}, B={a,b,c} A?B ={1,a,1,b,1,c,2,a,2,b,2,c, 3,a,3,b,3,c} B?A ={a,1,b,1,c,1,a,2,b,2,c,2, a,3, b,3,c,3} A={?}, P(A)?A={?,?, {?},?} 不适合交换律 A?B?B?A (A?B, A??, B??) 不适合结合律 (A?B)?C?A?(B?C) (A??, B??) 对于并或交运算满足分配律 A?(B?C)=(A?B)?(A?C) (B?C)?A=(B?A)?(C?A) A?(B?C)=(A?B)?(A?C) (B?C)?A=(B?A)?(C?A) 若A或B中有一个为空集，则A?B就是空集. A??=??B=? 若|A|=m, |B|=n, 则 |A?B|=mn 证明 A?(B?C)=(A?B)?(A?C) 证 任取x,y x,y∈A×(B∪C)  ? x∈A∧y∈B∪C ? x∈A∧(y∈B∨y∈C)  ? (x∈A∧y∈B)∨(x∈A∧y∈C)  ? x,y∈A×B∨x,y∈A×C  ? x,y∈(A×B)∪(A×C) 所以有A×(B∪C) = (A×B)∪(A×C). 解 (1) 任取x,y x,y?A?C ? x?A ? y?C ? x?B ? y?D ? x,y?B?D 例3 (1) 证明 A