[理学]离散数学 第3章_函数.ppt

* * * * * * * * 函数复合的性质 若f ? g是双射，则f是单射，g是满射； 例3.18:对于A={a1, a2, a3}、B={b1, b2, b3, b4}和 C = {c1, c2, c3}，f = {a1, b2, a2, b1, a3, b3}，g={b1, c1, b2, c2, b3, c3, b4, c3}，可求得f?g = {a1, c2, a2, c1, a3, c3 }。f?g是双射函数，但是，g不是单射函数，f不是满射函数。 但f不一定是满射！ g不一定是单射！ 逆函数 (反函数) 任意关系都可以进行逆运算得到其逆关系。但是，对函数而言，就略有不同。由于在函数中一定要求dom f = A和A中每一个元素有唯一的像点。所以，在对一个函数进行逆运算时，为了保证逆运算的结果仍是一个函数，就有相应的特殊要求。 定义3.6:对于集合A到B的关系g，如果关系g是A到B函数且其逆关系g?1是B到A函数，那么称g?1是函数g的逆函数（inverse function）或反函数，记为g?1：B?A。并称“?1”为函数的逆运算（inverse operation） 逆函数 (反函数) 例3.19:判断下列函数哪些存在逆函数？并计算逆函数。 ① 集合A={1,2,3}到B={a,b,c}的函数s={1,c,2,b,3,a} ② 集合A={1,2,3}到B={a,b,c,d}的函f={1,a,2,b,3,d} ③ h = {x, x +1| x ?Z}； ④ g：Z?Z，g(x) = x + 4； ⑤ f：Z?Z，g(x) = 2x + 1； ⑥ 集合A={1, 2, 3}到B={a, b}的函g={1,a,2,a,3,b} 解：①集合A={1,2,3}到B={a,b,c}的逆s?1={c,1,b,2,a,3} ② f ?1 = {a, 1, b, 2, d, 3}不是集合B={a, b, c, d}到A={1, 2, 3}的函数，所以，函数f不存在逆函数； ③ 逆函数h?1 = {x +1, x| x ?Z}。 ④ 对于x, x+4?g，应有x+4，x?g?1。令x + 4 = y，可得x = y ? 4。所以，逆函数g?1(x) = x ? 4； ⑤ 对于x, 2x+1?f，应有2x+1，x?f ?1。令2x+1 = y，可得x = (y?1)/2。f ?1不是Z到Z的函数。所以，函数f不存在逆函数； ⑥ g?1 = {a, 1, a, 2, b, 3}不是集合B={a, b}到A={1, 2, 3}的函数，所以，函数g不存在逆函数。 逆函数 (反函数) 定理3.2 如果g是集合A到B的双射函数，则g的逆关系g?1是集合B到A的函数。 证明: 由于g为双射函数，那么g为满射函数，因此对于任意y?B，必有x?A使得g(x) = y，从而y，x?g?1，这表明dom (g-1) = B。 对于任意y?B，设y，x1?g?1和y，x2 ? g?1，那么g(x1) = g(x2) = y。由于g是双射函数，那么，g是单射函数，必有x1= x2，从而，g-1具有单值性。所以，g?1是集合B到A的函数。证毕。 例如:例3.19中①、③和④列出的都是双射函数，它们的逆关系都是函数；②和⑤中的函数都是单射函数，但都不是满射函数，它们的逆关系都不是函数；⑥中的函数是满射函数，但不是单射函数，它的逆关系不是函数。 作业 P86 第1题 第2题 第3题 第4题 第8题 第9题 第14题(1)(3) 第16，18，20题 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 函数 函数概念是最基本的数学概念之一，也是最重要的数学工具。连续变量函数或实函数在微积分学中的地位是众所周知的，而离散对象之间的函数关系在计算机科学研究中有着极其重要的意义。 函数 定义3.1:设f是集合A到B的关系，如果对每个x?A，都存在唯一的y?B使得x, y?f，则称关系f为集合A到B的函数（function）或映射（mapping），记为f：A?B或y = f(x)。并称x为函数f的自变量（argument）或源点，y为x在函数f下的函数值（value）或像点（individual image）。集合A称为函数f的定义域（domain），记为dom f = A。所有像点组成的集合称为函数f的值域（range）或函数f的像（image），记为ran f或f(A)。 由定义3.1可知，函数是一种特殊的关系，