[理学]离散数学9.ppt

第六章 代数系统(抽象代数) 人们在研究和考察现实世界中的各种现象或过程时，往往要借助某些数学工具，如：可用导数来描述质点运动的速度，可用定积分来计算面积、体积等。针对某个具体问题选用合适的数学结构（工具）去进行较为确切的描述---数学模型。所以，数学结构在数学模型中占有极为重要的位置，本章将研究一类特殊的数学结构---由集合上定义若干个运算而组成的系统---代数系统。 以前学过许多代数： 初等代数、高等代数(线性代数)、集合代数、命题代 数、等等，它们研究的对象分别是整数、有理数、实 数、矩阵、集合、命题等等，以及这些对象上的各种运 算。 我们发现不同对象上的运算，可能有共同的性质。 例如，集合代数与命题代数，尽管研究的对象不同，但 是它们的性质完全一样，都有对合律、交换律、结合 律、分配律、吸收律、底-摩根定律、同一律、零律、互 补律等。这些促使我们将代数的研究引导到更高的层次— 即抛开具体对象的代数—抽象代数—研究代数的共性。 6-1 代数结构(系统)的概念 一. n元运算 如何定义运算，先看几个我们熟悉的例子： 取相反数运算“-”、集合的补运算“~” 以及N 上的“+” I I 可见运算“-”、“~”、“+” 就是个映射。 n元运算的定义 1.定义：设X是个非空集合，f:Xn?Y是个映射，则称f 是X上的n元运算。(Xn =X×X×...×X --n个X的笛卡尔积)。 如果Y?X，则称运算f 在X上是封闭的。 f:X?Y 是个一元运算。前面的 -、~是一元运算。 f:X2?Y 是个二元运算。+、×、÷、∧、∨、∪、∩是二元运算。 思考题：下面说法是否正确？ 减法－是N上封闭的二元运算。 除法÷是整数 I上的二元运算。 我们主要讨论二元运算。 通常用?、?、?、? 、?、?、?、? 、+等表 示抽象的二元运算。 如果用“?”表示二元运 算f时，通常将 f(x,y)=z 写成 x?y=z 。 2.二元运算的运算表 有时用一个表来表示二元 运算的运算规律。 例如令E={a,b} P(E)上的∩ 运算表如图所示。 再如令X={S,R,A,L}其中 S表示开始时的位置； R表示“向右转”； A表示“向后转”； L表示“向左转”； “?”表示转动的复合运算；其运算表如图所示。 从运算表除了可以看清运算的规律外，可以很容易地看 出运算的性质。 二.代数系统的概念 1.代数系统的定义：X是非空集合， f1,f2,…,fm 分别是X上k1,k2,…,km元运算, ki为整数，称集合X和运算f1,f2,…,fm所构成的系统为一个代数系统U（或一个代数结构）,简称一个代数，记作U=X, f1,f2,…,fm ( m≥1)。 注意：这m个运算f1,f2,…,fm的元数可能不同。代数系统是由一个非空集合和该集合上的若干运算组成，所以，集合和运算是一个代数系统的两要素，缺一不可。 例如 N,+,×，I, -,+,－,×，P(E), ~,∪,∩,? 2.有限代数系统： U=X, f1,f2,…fm 是个代数系统，如果X是个有限集合，则称U是个有限代数系统。 例如上边的X={S,R,A,L}，X，?是个有限代数系统。 3. 同类型代数系统：给定两个代数系统 U=X, f1,f2,…fm ，V=Y, g1,g2,…gm 如对应的运算fi和gi的元数相同(i=1,2,3,…,m),则 称U与V是同类型代数系统。 例如P(E)，~,∩,∪ {T,F}，? ,∧,∨ 6-2 二元运算的性质 这一节是重要的一节。因为就是根据 运算的性质将代数系统分成半群、独异 点、群、交换群、环、域、格、布尔代 数等，这些性质多数是大家所熟悉的。 一.封闭性 定义：设?是X上的二元运算，如果对任何x,y∈X,有x?y∈X,则称?在X上封闭。 例如在N上加法+和乘法×封闭，而减法、除 法不封闭。Mn（R）表示所有n阶实矩阵的集合 (n≥2)，则矩阵加法、乘法是封闭的。 从运算表可以很容易看出运算是否封闭。 二.交换性 定义：设?是X上的二元运算，如果对任何x,y∈X,有x?y=y?x,则称?是可交换的。 大家都知道：加法、乘法、交、并、对称差是可交 换。矩阵乘法、关系的复合是不可交换的。 例：对任意的a, b∈N, 定义 a?b=ab 则?不满足交换性。 例：设Q为有理数集合， ?是Q上的二元运算， 对任意的a, b∈Q, 定义 a?b=a+b-ab 问： ?是否可交换。 从运算表看交换性：