[理学]积分变换第1讲x.ppt

如果 f(t) 在(-?, +?)上连续或只有有限个可去间断点, 且当|t|?+?时, f(t)?0, 则 一般地，如果 在(-?, +?)上连续或只有有限个可去间断点, 且当|t|?+?时, 有 * 第二部分 积分变换 傅立叶积分变换 （傅氏变换） 拉普拉斯积分变换 （拉氏变换） 积分变换简介 所谓积分变换，实际上就是通过积分运算，把一个函数变成另一个函数的一种变换. 第七章 傅立叶变换 主要内容： 1、 傅立叶积分公式 2、傅立叶变换及其性质 3、卷积 §1 傅立叶级数与积分 1、傅立叶级数的指数形式 在《高等数学》中有下列定理： 定理1 （1）连续或只有有限个第一类间断点； （2）只有有限个极值点. 则在连续点处，有 2、傅立叶积分 任何一个非周期函数 f (t), 都可看成是由某个周期函数 fT (t) 当T→+∞时转化而来的. 公式（2）称为函数 f(t) 的傅氏积分公式. 于是 定理2 若 f(t) 在(-?, +?)上满足条件: (1) f(t)在任一有限区间上满足狄氏条件; (2) f(t)在无限区间(-?, +?)上绝对可积,即 则（2）在 f(t) 的连续点成立. 上述定理称为 傅氏积分定理. §2 傅立叶变换 1、傅立叶变换的概念 上一节介绍了：当 f(t) 满足一定条件（？）时，在 f(t) 的连续点处有： 简称傅氏变换,记为 F 简称傅氏逆变换,记为 F 还可以将 f(t) 和 F(w)用箭头连接: f(t) ? F(w) . t f (t) o 解:根据定义, 有 这就是指数衰减函数的傅氏变换. 根据积分表达式的定义,有 注意到 化简 整理 本讲小结： 1. 掌握傅氏积分定理的条件和结论； 2. 掌握傅氏变换和傅氏逆变换的概念. §3 单位脉冲函数 2、 单位脉冲函数 1、 单位脉动函数 de(t) 1/e e O t 在物理和工程技术中, 有许多物理现象具有脉冲性质. 例如断电以后的突然来电等; 在力学中, 机械系统受冲击力作用后的运动情况等. 研究此类问题就会产生我们要介绍的单位脉冲函数.物理学家狄拉克首先引入，此后在物理及工程技术中被广泛地采用. 2.1 单位脉冲函数的定义 定义 对于任何一个无穷次可微的函数 f(t), 称满足 2.2 单位脉冲函数的性质 (1) 积分性质 证明： 一些工程书中，δ-函数常用一个长度等于1的有向线段来表示. t O d(t) 1 (2) 筛选性质 对于无穷次可微的函数 f(t)，有 一般地 这一性质在近代物理和工程技术中有着较广泛的应用. 例1 求单位脉冲函数的傅氏变换. 解： 可见, 单位脉冲函数d (t)与常数1构成了一傅氏变换对； 同理, d(t-t0)和 亦构成了一个傅氏变换对. 例2 称为单位跃阶函数. 证：首先注意，这里的变换显然指的是广义变换. 我们用考察逆变换的方法证明. 由于 所以 当 t0 时,有 同理当 t0 时，有 综上所述，根据(*), 有 证毕. 解：由定义，有 例3 求 的傅氏逆变换. 特别地 故 得到 于是，有 例4 求正弦函数 f(t)=sinw0 t 的傅氏变换. 解： 同理，可得 即 §4 傅立叶变换的性质 为了能更好的用傅立叶变换这一工具解决各类 实际问题，它的一些基本性质必须熟练掌握. 为了叙述方便起见, 假定在这些性质中, 凡是需要求傅氏变换的函数都满足傅氏积分定理中的条件, 在证明这些性质时, 不再重述这些条件. 1、 线性性质 F F 则 F 逆变换也具有类似的性质，请写出相应的性质. 2、位移性质 证明：根据定义，得 显而易见，位移公式的作用是：知道了一个函数 的变换，便可由此求出其位移函数的变换！ 同理可得 推论 提示：利用欧拉公式和位移性质容易证明. 3、微分性质 证明：根据定义，得 类似地可推得象函数的导数公式： 则 * * * * *