[理学]积分及其应用习题课.ppt

* 典型 P249 例6.4 * (L.P 132 例10) * (L.P 132 例10) * (L.P164 中1) (L.P165 中 2(1)(2) ) (L.P165 中2(3) ; 3) (L.P166 中4) * ( L. P167 例2(2) ) * ( L. P171 例5(2) ) * (L.P166 公式④) * 典型 P221 例4.8 * 典型 P241 例5.8 * (L.P181 例17) * 例7. 求可微函数 f (x) 使满足 解: 等式两边对 x 求导, 得 不妨设 f (x)≠0, 则 注意 f (0) = 0, 得 例8. 求多项式 f (x) 使它满足方程 解: 令 则 代入原方程得 两边求导: 可见 f (x) 应为二次多项式 , 设 代入① 式比较同次幂系数 , 得 故 ① 再求导: 二、有关定积分计算和证明的方法 1. 熟练运用定积分计算的常用公式和方法 2. 注意特殊形式定积分的计算 3. 利用各种积分技巧计算定积分 4. 有关定积分命题的证明方法 思考: 下列作法是否正确? 例9. 求 解: 令 则 原式 例10. 求 解: 例11. 选择一个常数 c , 使 解: 令 则 因为被积函数为奇函数 , 故选择 c 使 即 可使原式为 0 . 例12. 设 解: 例13. 若 解: 令 试证 : 则 因为 对右端第二个积分令 综上所述 例14. 证明恒等式 证: 令 则 因此 又 故所证等式成立 . 例15. 试证 使 分析: 要证 即 故作辅助函数 至少存在一点 证明: 令 在 上连续, 在 至少 使 即 因在 上 连续且不为0 , 从而不变号, 因此 故所证等式成立 . 故由罗尔定理知 , 存在一点 思考: 本题能否用柯西中值定理证明 ? 如果能, 怎样设辅助函数? 要证: 提示: 设辅助函数 例16. 设函数 f (x) 在[a, b] 上连续,在(a, b) 内可导, 且 (1) 在(a, b) 内 f (x) 0 ; (2) 在(a, b) 内存在点 ?, 使 (3) 在(a, b) 内存在与 ? 相异的点? , 使 (03考研) 证: (1) 由 f (x)在[a, b]上连续, 知 f (a) = 0. 所以f (x) 在(a, b)内单调增, 因此 (2) 设 满足柯西中值定理条件, 于是存在 即 (3) 因 在[a, ?] 上用拉格朗日中值定理 代入(2)中结论得 因此得 例17. 设 证: 设 且 试证 : 则 故 F(x) 单调不减 , 即② 成立. ② 板块三 1. 定积分的应用 几何方面 : 面积、 体积、 弧长、 表面积 . 物理方面 : 质量、 作功、 侧压力、 引力、 2. 基本方法 : 微元分析法 微元形状 : 条、 段、 带、 片、 扇、 环、 壳 等. 转动惯量 . 定积分的应用 例1. 求抛物线 在(0,1) 内的一条切线, 使它与 两坐标轴和抛物线所围图形的面积最小. 解: 设抛物线上切点为 则该点处的切线方程为 它与 x , y 轴的交点分别为 所指面积 且为最小点 . 故所求切线为 得[ 0 , 1] 上的唯一驻点 例2. 设非负函数 曲线 与直线 及坐标轴所围图形 (1) 求函数 (2) a 为何值时, 所围图形绕 x 轴一周所得旋转体 解: (1) 由方程得 面积为 2 , 体积最小 ? 即 故得 又 (2) 旋转体体积 又 为唯一极小点, 因此 时 V 取最小值 . 例3. 证明曲边扇形 绕极轴 证: 先求 上微曲边扇形 绕极轴旋转而成的体积 体积微元 故 旋转而成的体积为 故所求旋转体体积为 例4. 求由 与 所围区域绕 旋转所得旋转体体积. 解: 曲线与直线的交点坐标为 曲线上任一点 到直线 的距离为 则 例5. 半径为 R , 密度为 的球沉入深为H ( H 2 R ) 的水池底, 水的密度 多少功 ? 解: 建立坐标系如图 . 则对应 上球的薄片提到水面上的微功为 提出水面后的微功为 现将其从水池中取出, 需做 微元体积 所受重力 上升高度 因此微功元素为 球从水中提出所做的功为 “偶倍奇零” 例6. 设有半径为 R 的半球形容器如图. (1) 以每秒 a 升的速度向空容器中注水, 求水深为 为h (0 h R ) 时水面上升的速度 . (2) 设容器中已注满水 , 求将其全部抽出所做的功最 少应为多少 ? 解: 过球心的纵截面建立坐标系如图. 则半圆方程为 设经过 t 秒容器内水深为h , (1) 求 由题设, 经过 t 秒后容器内的水量为 而高为 h 的球缺的体积为 半球可看作半圆 绕 y 轴旋转而成 体积元素: 故