[理学]第01节 不定积分的概念与性质.ppt

例2 求 解 * 第五章 不定积分 第一节 不定积分的概念与性质 第二节 换元积分法 第三节 分部积分法 第四节 若干初等可积函数类 学习指导 第一节 不定积分的概念与性质 ◆一、原函数与不定积分 ◆三、基本积分公式 ◆二、不定积分的几何意义 ◆四、不定积分的性质 一、原函数与不定积分 或 导函数为 ，即 定义1 如果区间 上，可导函数 的 个原函数． 则称函数 为函数 在区间 上的一 例如 所以 是 在 内的一个 原函数． 则 也是 在 则 是 在 上的一个原函数． 内的原函数． 则 是 在 上的一个原函数． 原函数存在性定理：若函数 在区间 上连续，那么在区间 上存在可导函数 简单地说就是：连续函数一定有原函数． 使对任一 ，都有 初等函数在其定义区间内一定存在原函数． 因为初等函数在其定义区间内连续，所以 下面需要说明两点： 第一、如果 在 上有原函数，即 有一个函数 ，使当 时 那么，对任何常数 ，有 即对任意常数 ，函数 也是 那么 就有无限多个原函数． 有什么关系？ 的原函数．这说明如果 有原函数， 第二、在区间 上，如果 是 的 一个原函数，那么， 的其他原函数和 设 是 的另一个原函数，即 于是 因此 当 时， 即 当 为任意常数时， 就可以表示 的任意一个原函数 （全体原函数）． 这表明 与 只相差一个常数，因此， 若 是 在区间 上的一个原函数，则 “ ”称为积分记号， 定义2 在区间 上，函数 的所有原函数， 称为 的在区间上的不定积分．记作 称为被积函数， 称为被积表达式， 称为积分变量， 称为积分常数． 因此，求己知函数的不定积分，就归 为求出它的一个原函数，再加上积分常数 C ． 从不定积分的定义，即可知下述关系： 由于 是 的原函数，所以 或 又由于 是 的原函数，所以 或 由此可见，微分运算（以记号 表示）与 求不定积分的运算（简称积分运算，以记号 时，或者抵消，或者抵消后差一个常数． 表示）是互逆的. 当记号 与 连在一起 例1 求函数 的不定积分． 解 因为 ，所以 例2 求函数 的不定积分． 解 因为 ，所以 例3 求函数 的不定积分． ，所以 解 因为当 时， ，所以 当 时， 综合上面两式，得到 解 因为 例4 求 所以 二、不定积分的几何意义 由于函数 的不定积分中含有任意 常数C，因此对于每一给定的C，都有一个确定 的原函数，在几何上，相应地就有一条确定的 曲线，称为 的积分曲线．因为C可以取任 意值，因此不定积分表示 的一簇积分曲 线，而 正是积分曲线的斜率．由于积分 曲线簇中的每一条曲线，对应于同一横坐标 坐标 的点处 有相同的斜率 ， 所以对应于这些点， 它们的切线互相平行， 任意两条曲线的纵坐 标之间相差一个常数． 所以，积分曲线簇 中一条曲线都可以由曲线 沿 轴上、下移动而得到．如图5—1． 图5—1 例5 求经过点 ,且其切线的斜率 为 的曲线方程． 解 由 得曲线簇 将 代入，得 就是所求曲线． 三、基本积分公式 由于积分运算是微分运算的逆运算，所以 从基本导数公式，可以直接得到基本积分 公式． 例如，由导数公式 得积分公式 四、不定积分的性质 1．求不定积分与求导数或微分互为逆运算 或 ④ ① 或 ② ③ 也就是：不定积分的导数（或微分）等于 被积函数（或被积表达式）；一个函数的 导数（或微分）的不定积分与这个函数 相差一个任意常数． 2．不为零的常数因子，可以移到积分号前． 这是因为上式右端的导数 恰好是左端的被积函数．从而可知 是 的不定积分． 3．两个函数的代数和的积分，等于函数积分 的代数和． 上式可推广到有限个函数代数和的情况． 例1 求 解