[理学]第11讲随机向量的概率分布.ppt

3.1 二维随机变量及其联合分布 1 二维随机变量 定义3.1.1 若X, Y是两个定义在同一个样本空间上的 随机变量，则称(X, Y) 是两维随机变量. 同理可定义 n 维随机变量 (随机向量). 2 联合分布函数 定义3.1.2 联合分布函数的基本性质 3 边缘分布函数 3.2 二维离散型随机变量 3.2.1 二维离散分布的联合分布列 联合分布列的基本性质 确定联合分布列的方法 3.2.2 边缘分布列 注 意 点 由联合分布可以求出边际分布. 但由边际分布一般无法求出联合分布. 所以联合分布包含更多的信息. 1 联合密度函数 设二维随机变量(X, Y) 的分布函数为 F(x, y)， 若存在非负可积函数 p(x, y)，使得 3.2.3 边缘密度函数 (2) 巳知 (X, Y) 的联合密度函数为 p(x, y)， 则 X 的密度函数为 ： Y 的密度函数为 ： 设连续型二维随机变量(X,Y)的概率密度函数 为p(x,y)则 从而得到X和Y的概率密度函数分别为 例3 设(X,Y)的概率密度是 求 (1) c的值； （2）两个边缘密度. =5c/24=1, c =24/5 由 确定C 解：(1) 解: (2) 注意取值范围 x y 0 1 y=x 注意积分限 注意取值范围 故 1.二维均匀分布 3.2.4 两个重要的二维分布 记为 (X, Y) ? U (D) . 在求连续型随机变量的边缘密度时，往往要对联合密度在一个变量取值范围上进行积分. 当联合密度函数是分段表示的时候，在计算积分时应特别注意积分限 . 2.二维正态分布 （1）（X,Y）关于X的边缘密度函数 （2）（X，Y）关于Y的边缘密度函数 解 同理可得 作业 习题1，2，3 * 概率论与数理统计 第十一讲 随机向量的概率分布 经济数学基础 教师：代金辉 第十一讲 随机向量的概率分布 3.1 二维随机变量及其联合分布 3.2 二维离散型随机变量 3.1 二维随机变量及其分布函数 引言 F(x, y) = P( X ? x, Y ? y) 为(X, Y) 的联合分布函数. (以下仅讨论两维随机变量) 任对实数 x 和 y, 称 注意： 2 F (x, y)为(X, Y)落在点(x, y)的左下区域的概率. 1 {(X≤x)∩(Y≤y)}={X≤x, Y≤y}； X1 X2 x1 x2 (x1, x2) (1) F(x, y) 关于 x 和 y 分别单调不减. (2) 0 ? F(x, y) ? 1，且 F(??, y) = F(x, ??) =0， F(+?, +?) = 1. (3) F(x, y) 关于 x 和 y 分别右连续. (4) 当ab, cd 时，有 F(b, d) ? F(b, c) ? F(a, d) + F(a, c) ? 0. 注意：上式左边 = P(aX?b, cY ?d). (单调性) (有界性) (右连续性) (非负性) 巳知 (X, Y) 的联合分布函数为 F(x, y)， 则 Y ? FY (y) = F(+? , y). X ? FX (x) = F(x, +?), 边缘分布函数完全由联合分布函数确定 解 (X,Y)关于X的边缘分布函数 若(X, Y) 的可能取值为有限对、或可列对， 则称(X, Y)为二维离散随机变量. 称 pij = P(X=xi, Y=yj)， i, j=1, 2, ..., 为(X,Y) 的联合分布列， 其表格形式如下: Y X y1 y2 … yj … x1 x2 … xi … p11 p12 … p1j … p21 p22 … p2j … … … … … … pi1 pi2 … pi j … … … … … … (1) pij ? 0, i, j = 1, 2,… (2) ?? pij = 1. (非负性) (正则性) (1) 确定随机变量 (X, Y) 的所有取值数对. (2) 计算取每个数值对的概率. (3) 列出表格. 例1 将一枚均匀的硬币抛掷4次，X表示正面向上的次数，Y表示反面朝上次数。求 (X, Y) 的联合分布列. X Y 0 4 1 3 2 2 3