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[理学]第1章离散时间信号和系统xin
5. 复指数序列 x(n)=e(σ+jω0)n 式中ω0为数字域频率,设σ=0,用极坐标和实部虚部表示如下式: x(n)=e jω0n x(n)=cos(ω0n)+jsin(ω0n) 由于n取整数,下面等式成立: ej(ω0+2πM)n=ejω0n, M=0,±1,±2… 6. 正弦序列 x(n)=sin(ωn) 式中ω称为正弦序列的数字域频率,单位是弧度,它表示序列变化的速率,或者说表示相邻两个序列值之间变化的弧度数。如果正弦序列是由模拟信号xa(t)采样得到的,那么 xa(t)=sin(Ωt) xa (t)|t=nT=sin(ΩnT) x(n)=sin(ωn) 因为在数值上,序列值与采样信号值相等,因此得到数字频率ω与模拟角频率Ω之间的关系为 ω=ΩT 式表示凡是由模拟信号采样得到的序列,模拟角频率Ω与序列的数字域频率ω成线性关系。由于采样频率fs与采样周期T互为倒数,也可以表示成下式: 1.3.1 线性系统 满足叠加原理的系统称为线性系统。设x1(n)和x2(n)分别作为系统的输入序列,其输出分别用y1(n)和y2(n)表示,即 y1(n)=T[x1(n)],y2(n)=T[x2(n)] 那么线性系统一定满足下面两个公式: T[ x1(n)+x2(n)]= y1(n)+y2(n) 可加性 T[a x1(n)]=a y1(n) 齐次性 例1.3.1 证明y(n)=ax(n)+b(a和b是常数),所代表的系统是非线性系统。 证明 y1(n)=T[x1(n)]=ax1(n)+b y2(n)=T[x2(n)]=ax2(n)+b y(n)=T[x1(n)+x2(n)]=ax1(n)+ax2(n)+b y(n)≠y1(n)+y2(n) 因此,该系统不是线性系统。用同样方法可以证明 所代表的系统是线性系统。 1.3.2 时不变系统 如果系统对输入信号的运算关系T[·]在整个运算过程中不随时间变化,或者说系统对于输入信号的响应与信号加于系统的时间无关,则这种系统称为时不变系统,用公式表示如下: y(n)=T[x(n)] y(n-n0)=T[x(n-n0)] 例1.3.3检查y(n)=nx(n)所代表的系统是否是时不变系统。 解 y(n)=nx(n) y(n-n0)=(n- n0)x(n- n0) T[x(n- n0)]=nx(n- n0) y(n- n0)≠T[x(n- n0)] 因此该系统不是时不变系统。同样方法可以证明 所代表的系统不是时不变系统。 描述一个系统,可以不管系统内部的结构如何,将系统看成一个黑盒子,只描述或者研究系统输出和输入之间的关系,这种方法称为输入输出描述法。对于模拟系统,我们知道由微分方程描述系统输出输入之间的关系。对于时域离散系统,则用差分方程描述或研究输出输入之间的关系。对于线性时不变系统,经常用的是线性常系数差分方程,本节主要介绍这类差分方程及其解法。 一个N阶线性常系数差分方程用下式表示: 已知系统的输入序列,通过求解差分方程可以求出输出序列。求解差分方程的基本方法有以下三种:
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