[理学]第1章线性代数全部1-3.ppt

2008.2 行列式全部(1-3) 则D等于下列两个行列式之和: 性质6: 把行列式的某一列(行)的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去, 行列式不变. 证明: 故结论成立. 例如 二、行列式计算 计算行列式常用方法: 利用性质2,3,6, 特别是性质6把行列式化为上(下)三角形行列式, 从而, 较容易的计算行列式的值． 例1: 计算5阶行列式 解: D r2 + 3r1 r3 – 2r1 r4 – 3r1 r5 – 4r1 r2 ? r3 r4 + r2 r4 + r3 r5 + 2r3 r5 + 2r4 解: 将第2, 3, ··· , n 列都加到第一列得: 例2: 计算 n 阶行列式 第2, 3, ··· , n 行都减去第一行得: 例3: 设 证明: D = D1D2. 证明: 对D1作行运算 ri + t rj , 把D1化为下三角形行列式: 对D2作列运算 ci+kcj , 把D2化为下三角形行列式: 先对D的前k行作行运算 ri+trj , 然后对D的后n列作列运算 ci+kcj , 把D化为下三角形行列式: 故, D = p11··· pkk q11··· qnn = D1D2. 行列式的6个性质. 行列式中行与列具有同等的地位, 行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立. 计算行列式常用方法: (1) 利用定义; (2) 利用性质把行列式化为上(下)三角形行列式, 从而算得行列式的值. 三、小结 §2.结束 行列式的性质 §5 克莱姆法则 §4 行列式按行(列)展开 第一章 行列式 第1次课 第3次课 第2次课 §1.4 行列式按行(列)展开 引例, 考察三阶行列式 在 n 阶行列式D中, 把元素 aij 所在的第 i 行和第 j 列元素划去后, 留下来的 n–1 阶行列式叫做(行列式D的关于)元素aij 的余子式, 记作 Mij . 即 例如 记 Aij = (–1)i+j Mij, 称 Aij 为元素 aij 的代数余子式. 引理: 如果一个阶行列式D的第 i 行元素除 aij 外都为零, 那么, 行列式 D 等于 aij 与它的代数余子式 Aij的乘积, 即 D = aij Aij . 行列式的每一个元素都分别对应着唯一的一个余子式和唯一的一个代数余子式. = aij Aij . 证: 当 aij 位于第一行第一列时, 又由于 A11=(–1)1+1M11=M11, 再证一般情形, 此时 由上节例3, 即教材中的例10得: D = a11M11 . 从而 D = a11A11, 即结论成立. 把D的第 i 行依次与第 i –1行,第 i –2行, ···, 第1行交换, 得 把D的第 j 列依次与第 j –1列, 第 j –2列, ···, 第1列交换, 得 =(–1)i+j aij M?11, 显然, M?11恰好是aij在D中的余子式Mij,, 即M?11=Mij, 因此, D = (–1)i+j aij Mij = aij Aij, 故引理结论成立. * §2 n阶行列式的定义 §3 行列式的性质 §5 克莱姆法则 §4 行列式按行(列)展开 §1 2阶 3阶行列式 第一章 行列式 第1次课 第2次课 第3次课 第1节 2阶与3阶行列式 2阶行列式引入 3阶行列式 一、二阶行列式的引入 用消元法解二元(一次)线性方程组: §1.1 二阶与三阶行列式 (1) (2) (1)?a22: a11a22x1 + a12a22x2 = b1a22, (2)?a12: a12a21x1 + a12a22x2 = b2a12, 两式相减消去x2, 得 (a11a22 – a12a21) x1 = b1a22 – b2a12; 第一章 行列式 当(a11a22 – a12a21) ? 0时, 方程组的解为: 由方程组(1)的四个系数确定 定义: 由4(2?2)个数排成二行二列(横排称行, 竖排称列)的数表 a11 a12 a21 a22 (3) (4) 则表达式 a11a22 – a12a21 称为由数表(4)所确定的二阶行列式, 并记作 (5) 类似地, 消去x1, 得 (a11a22 – a12a21) x2 = b2a11 – b1a21; = a11a22 – a12a21 即 主对角线 副对角线 二阶行列式的计算——对角线法则 = a11a22 – a12a21 对于二元线性方程组 D称为线性方程组(1)的系