[理学]第25节非齐次线性方程组.ppt

(Spring 2010, 14ppt) 作 业 P64 2.5(1),(3). 2.7 华南农业大学理学院应用数学系 多媒体教学课件 第五节 非齐次线性方程组 线性方程组的矩阵描述 矩阵形式 m个方程， n个未知数 m个方程， n个未知数 非齐次线性方程组 系数矩阵 增广矩阵 ●非齐次线性方程组有解的充要条件 非齐次线性方程组AX=b有解 向量b可由矩阵A的列向量组 线性表示 向量组 与向量组 等价 其中 ，称为增广矩阵 定理 线性方程组AX=b有解的充分必要条件是：系数矩阵 的秩等于增广矩阵的秩，即 。 当 时，方程组有惟一解； 当 时，方程组有无穷多解； 当 时，方程组无解。 ●非齐次线性方程组的解的性质 非齐次线性方程组 对应的齐次线性方程组 如果 是（1）的解，则 是（2）的解。 如果 是（1）的解， 是（2）的解，则 是（1）的解。 证明 证明 ●非齐次线性方程组的解的结构定理 如果 是非齐次线性方程组的特解， 是对应的齐次线性方程组的一个基础解系，则非齐次线性方程组的通解可表示为 。 非齐次线性方程组 对应的齐次线性方程组 的通解为 (1) (2) 非齐次线性方程组的解的结构 （1）的特解 （2）的通解 非齐次方程组有唯一解的充分必要条件是它的增广矩阵的秩与系数矩阵的秩相等。 齐次方程组一定有解。 例 判别方程组是否有解？ 解 方程组的增广矩阵为 所以方程组无解 例 判别方程组是否有解？ 解 方程组的增广矩阵为 所以方程组无解 初中的解题办法是什么？ （加减消元法 ） 加减消元法实质上就是对增广矩阵进行初等行变换 初等行变换 row 交换i, j两行 数乘第 i 行 数乘第 j 行加到第 i 行 解方程组只能对增广矩阵进行初等行变换，而不能进行初等列变换。 初等列变换 column 交换i, j两列 数乘第 i 列 数乘第 j 列加到第 i 列 例3 判别方程组是否有解？ 解 方程组的增广矩阵为 所以方程组无解 绝对不能进行初等列变换！！！ 例 解线性方程组 解 将方程组的增广矩阵作初等行变换 即得 的通解为 （1）的特解 （2）的通解 例 求解线性方程组 解 将增广矩阵作行初等变换 所以 方程组有无穷多解 一般解为 （其中Z为自由未知量） 令Z=K，将一般解改写为向量形式，得 其中 为基础解系 例 求解线性方程组，当 K 为何值时，方程组有（1）唯一解？ （2）无解？（3）无穷多解？并用基础解系表示通解。 解 方程组的系数行列式为 （1）当 且 时， 方程组有唯一解。 （2）当 时，增广矩阵为 此时，方程组无解。 （3）当 时，增广矩阵为 此时方程组有无穷多解，一般解为 （ 为自由未知量） 即 为基础解系 练习 为何值时，方程组有唯一解？有无穷多解？无解？ 有无穷多解时，求解方程组。 解 方程组的系数行列式为 （1）当 且 时，方程组有唯一解