[理学]第2章 导数与微分.ppt

第2章 导数与微分 2.1 导数概念 2.2 函数和、 差、 积、 商的求导法则 2.3 复合函数求导法则和反函数的导数 2.4 高阶导数 2.5 隐函数及由参数方程所确定函数的导数 2.6 函数的微分 复 习 题 2 2.1 导数概念 2.1.1 引例 1. 变速直线运动的速度 设s表示一物体从某一时刻开始到时刻t作直线运动所经过的路程， 则s是时刻t的函数s=s(t). 现在我们研究一下物体在t=t0时的运动速度. 当时间由t0改变到t0+Δt时， 物体在Δt这段时间内所经过的距离为 Δs=s(t0+Δt)-s(t0) 当物体作匀速运动时， 它的速度不随时间而改变， 但是， 当物体作变速运动时， 它的速度随时间而确定， 此时 表示时刻从t0到t0+Δt这一段时间内的平均速度 当Δt很小时， 可以用 近似地表示物体在时刻t0的速度， Δt愈小，近似程度就愈好. 当Δt→0时， 如果极限 存在， 就称此极限为物体在时刻t0的瞬时速度， 即 2. 切线问题 圆的切线可定义为“与曲线只有一个交点的直线”. 但是对于其它曲线， 用“与曲线只有一个交点的直线”作为切线的定义就不一定合适. 例如， 对于抛物线y=x2， 在原点O处， 两个坐标轴都符合上述定义， 但实际上只有x轴是该抛物线在点O处的切线. 设曲线y=f(x)的图形如图2-1所示， 点M(x0， y0)为曲线上一定点， 在曲线上另取一点M1(x0+Δx, y0+Δy)， 点M1是曲线上一动点， 其位置取决于Δx， 作割线MM1， 设其倾斜角为φ， 由图2-1易知此割线MM1的斜率为 当Δx→0时， 动点M1将沿曲线趋向于定点M， 从而割线MM1也随之变动而趋向于极限位置——直线MT. 我们称此直线MT为曲线在定点M处的切线. 显然， 此时倾角φ趋向于切线MT的倾角α， 即切线MT的斜率为 上面两个实际例题的具体含义是不同的. 但从抽象的数量关系来看， 它们的实质是一样的， 都归结为计算函数改变量与自变量改变量的比， 当自变量改变量趋于零的极限. 这种特殊的极限称为函数的导数. 2.1.2 导数概念 定义2.1 设函数y=f(x)在点x0的某邻域内有定义， 给x0以增量Δx(x0+Δx仍在该邻域内)， 函数y取得相应的增量 Δy=f(x0+Δx)-f(x0) 导数的定义式也可取不同的形式， 如令x0+Δx=x, 则有Δx=x-x0， Δx→0， 即x→x0， 式(2-1)可以改写为 2.1.3 利用定义求导数 根据导数的定义， 求导数可以分为以下三步： (1) 求增量Δy=f(x+Δx)-f(x)； (2) 算比值 (3) 取极限 例1 求函数f(x)=C(C为常数)的导数. 解Δy=f(x+Δx)-f(x)=C-C=0 2.1.4 导数的几何意义 根据导数的定义及曲线切线斜率的求法， 可以知道函数y=f(x)在点x0处的导数， 表示曲线y=f(x)在(x0, y0)处的切线斜率(见图2-1)， 即f′(x0)=tanα(α是切线的倾斜角). 这就是导数的几何意义. 于是， 根据导数的几何意义并应用直线的点斜式方程， 可知曲线y=f(x)在点M(x0, y0)处的切线方程为 y-y0=f′(x0)(x-x0) 过点M(x0, y0)且与切线垂直的直线叫做曲线在点M处的法线. 如果f′(x0)≠0， 法线方程为 若f′(x0)=0或f′(x0)=∞， 切线与法线方程如何， 请读者考虑. 例5 求y=sinx在(0， 0)及 处的切线与法线方程. 解 y′=(sinx)′=cosx， 由导数的几何意义知， 在点(0， 0)处y′｜x=0=cosx｜x=0=1, 切线方程为y=x， 法线方程为y=-x； 在