[理学]第3_4_5节Jordan标准形.ppt

1、正规矩阵定义： 下列类型的矩阵都是正规矩阵： 实对称矩阵 AT=A; 反实对称矩阵 AT=-A; 正交矩阵 AT=A-1; 酉矩阵 AH=A-1; Hermite矩阵 AH=A; 反Hermite矩阵 AH=-A; 对角矩阵 2、酉相似 3、Schur 定理 Schur 定理 引理 正规上三角矩阵是对角矩阵 证明 设n阶矩阵A是正规上三角矩阵，则 比较等式两边，可得 充分性 由schur定理知，A酉相似于一个上三角矩阵T， 正定矩阵 设A是n阶Hermite矩阵，如果对于任意非0的向量X，成立 f(X)=XHAX0 则称二次型f(X)是正定二次型，称A为正定矩阵. 1、Jordan块定义 称下面结构的上三角形矩阵为Jordan块矩阵，简称Jordan块 2、Jordan形矩阵 其中n i 是第i个Jordan块的阶数； s是Jordan形中Jordan块的块数。 二、矩阵的Jordan标准形 其代数重数分别为 对Jordan分解的说明： 1·因为相似矩阵有相同的特征值，所以J的主对角线的元素就是A的特征值。 除了J i 的编排顺序可改变外，J是唯一确定的。 Jordan标准形分解主要用于理论证明 . 例 解 A的不同特征值为{-2，0，1}，代数重复度分别为1，2，3，则A的Jordan标准形J=diag(J1,J2 ,J3 ), 其中 1、?矩阵 一般地，设 a ij(?)是复数域上的多项式，则称下列矩阵为?矩阵或多项式矩阵 2、?矩阵的初等变换 （1）矩阵的两行（列）互换位置 （2）矩阵的某行（列）乘以非零的常数c, （3）矩阵的某一行（列）加另一行（列）的?(?)倍， ?(?)是多项式。 特征矩阵 定理 设A，B是两个n阶矩阵， A与B相似的充分必要条件为它们的特征矩阵?I-A与?I-B等价. 4、?矩阵的等价标准形定理 任意一个?矩阵都等价于下列形式的矩阵， 四、不变因子、行列式因子、初等因子 定理 两个?矩阵等价的充分必要条件是它们有相同秩和不变因子。 2、行列式因子 定理 两个?矩阵等价，则它们有相同的秩与相同的各阶行列式因子。 行列式因子的计算 设?矩阵A(?)的不变因子为d 1(?)，d 2 ?) …d r (?) 则利用Smith标准型容易求得： 例 则初等因子为 推论 5、利用初等因子求矩阵的Jordan形 （1）n阶Jordan块的初等因子 （2）Jordan形矩阵的初等因子 设Jordan形J = diag(J1,J2, …,Js), 其中Ji是对角元为?i 的ni 阶Jordan块, 则J的初等因子为 则 A 相似于J = diag(J1,J2, …,Js), 其中Ji是对角元为?i的ni 阶Jordan块, J即为A的Jordan标准形。 证明 故A与J有相同的初等因子,进而A与J相似。 1）任意n阶矩阵A都与Jordan形矩阵相似，并且Jordan形矩阵除去其中Jordan块的排列次序外是被矩阵A唯一决定的。 2）矩阵A可对角化的充分必要条件是它的初等因子都是1次的。 3）矩阵A可对角化的充分必要条件是它的不变因子无重根。 4）对任意n阶矩阵A，存在n阶可逆矩阵P使得 为Jordan形矩阵，其中P称为相似变换矩阵 求矩阵的Jordan形的步骤 Step3 构造矩阵A的Jordan形 J = diag(J1,J2, …,Js) 例 求矩阵的Jordan形 例 求矩阵A的相似变换矩阵 第五节 矩阵的最小多项式 定义 设p（z）是复数域上的多项式 性质 设 p（z)是复数域上的多项式，则 化零多项式 设p（z）是复数域上的多项式，A是n阶矩阵，如果 p(A)=0, 则称p（z）是矩阵A的化零多项式 Hamilton-Cayley定理 设A是n阶矩阵，f（?）是A的特征多项式，则 f(A)=0 最小多项式 设A是n阶矩阵，称A的首项系数为1，次数最小的化零多项式为A的最小多项式。 最小多项式的性质 （1）矩阵A的任意化零多项式能被A的最小多项式整除。 （2）相似矩阵有相同的最小多项式。 （3）矩阵A的特征多项式与最小多项式有相同的根。 推论 （1）矩阵A的最小多项式是唯一的。 （2）如果矩阵A的特征多项式无重根，则矩阵A的特征多项式与最小多项式相同。 定理 设A是n阶矩阵，A的特征多项式为 推论 A的相应于特征值?i?的次数最大的初等因子为 例 求A的最小多项式 解2 矩阵A的特征多项式为 由于A的特征多项式与最小多项式有相同的根 故A的最小多项式具有下列形式为 解3 矩阵A的特征矩阵的伴随矩阵为 B(?)的各元素