[理学]第3章-微分中值定理与导数的应用.ppt

§3.1 微分中值定理 §3.2 洛必达法则 §3.3 泰勒公式 §3.4 函数的单调性与曲线的凹凸性 §3.5 函数的极值与最大值最小值 §3.6 函数图形的描绘 一、罗尔（Rolle）定理 二、拉格朗日（Lagrange）中值定理 三、柯西（Cauchy）中值定理 一、洛必达法则 一、函数单调性的判定法 二、曲线的凹凸性与拐点 一、函数极值的求法 二、最大值与最小值的求法 一、曲线的渐近线 二、函数图形的描绘 定理1（泰勒（Taylor）中值定理） 如果函数f (x)在含有x0的某个开区间(a,b)内具有直到(n+1)阶的导数，则对任一x∈(a,b)，有 + 其中 ， 这里 是x0与x之间的某个值. 当n = 0 时，泰勒公式变成拉格朗日中值公式: ( 在x0与x之间). 因此，泰勒中值定理是拉格朗日中值定理的推广. 由泰勒中值定理可知，以多项式Pn(x)近似表达函数f(x)时，其误差为|Rn(x)|. 如果对于某个固定的n，当x∈(a,b)时， ，则有估计式: 及 . 由此可见，当 时误差|Rn(x)|是比 高阶的无穷小，即 . 在不需要写出余项的精确表达式时，n阶泰勒公式也可表示成 Rn(x)的表达式称为佩亚诺（Peano）型余项，以上公式称为f(x)按(x-x0)的幂展开的带有佩亚诺型余项的n阶泰勒公式. 在泰勒公式中，如果取x0=0，则 在0与x之间.因此可令 ，从而泰勒公式变成较简单的形式，即所谓带有拉格朗日型余项的麦克劳林（Maclaurin） 公式: 例1 写出函数f (x) = ex 的带有拉格朗日型余项的麦克劳林公式. 解: 因为f (x) =f ?(x) = f ??(x) =…= f (n) (x) = f (n+1) (x) = ex, 所以 f (0) =f ?(0) = f ??(0) =…= f (n) (0) = 1, f (n+1) (q x) = eq x, 把它们代入公式得到 ， 同理有： 例3 计算e的值，使其误差不超过10-6. 解 由例1的公式，当x=1时有 故 当n=9时，便有 从而,e的误差不超过10-6的近似值为 §3.4 函数的单调性与曲线的凹凸性 根据拉格朗日中值定理可推出: 定理1 设函数y = f (x)在[a, b]上连续，在(a, b)内可导. (1)如果在(a, b)内f ?(x) 0，那么函数y = f (x)在[a, b]上单调增加; (2)如果在(a, b)内f ?(x) 0，那么函数y = f (x)在[a, b]上单调减少. 注 如果把这个定理的条件中使得f (x)连续的闭区间换成其他区间I，同时假定f ?(x)在I内恒正或恒负, 那么相应的结论仍然在I上成立. 例1 讨论函数 的单调性. 解 这函数在它的定义域 上连续;当 时; 当x=0时,函数的导数不存在. 由于在 内有 ,因此由定理1的附注知, 函数 在 上单调减少;同理, 由于在 内有 , 故函数 在 上单调增加. 例3 确定函数 的单调区间. 解 这个函数在它的定义域(-?, +?)上连续. 求导数得 解方程f ? (x) = 0得， . 这两个根把(-?, +?)分成三个部分区间(-?, -2)，[-2, 0]及(0, +?). 由于在区间(-?, -2)内有 f ?(x) 0，因此函数f