[理学]第3章_数值积分与数值微分.ppt

21 第三章 数值积分与数值微分 王伟，大气科学学院 wei2009@cuit.edu.cn 数值积分概述 几个简单求积公式 一般求积公式（机械求积） 代数精度 举例（一） 矩形和梯形公式的代数精度 插值型求积公式 插值型求积公式（续） 收敛性和稳定性 稳定性的一个充分条件 牛顿-柯特斯求积公式 牛顿-柯特斯公式（续） 几个常见公式 柯特斯系数表 系数特点和稳定性 余项 P110-111 余项的一般形式 牛顿-柯特斯公式的代数精度 举例 牛顿-柯特斯公式的稳定性与收敛性 P111-112 复合求积法 指导思想：先将积分区间分为若干小区间，在每个小区间上采用低阶求积公式，然后相加得出新的求积公式。 1、复合梯形求积公式（3.13）、（3.14） 2、复合抛物线求积公式（3.15）、（3.16） 3、复合柯特斯公式（3.17）、（3.18） 例 3.2 步长的自动选择 步长的自动选择 介绍的复合求积法对提高积分的精度是行之有效的，但在使用求积公式前，必须给出适当的步长。 当f(x)在[a,b]上的高阶导数容易估计时，利用截断误差可以从预定的精度估计用复合梯形法或复合抛物线法时的步长。 但在很多情况下，被积函数f(x)的导数界很难估计，这就使得直接预先确定步长有了困难。 步长的自动选择 基本思想： 复合梯形求积法 P116 梯形法的递推化 例题选讲 梯形法的加速 外推算法 外推法（续） 外推法（续） 梯形法的加速 梯形法的加速（续） 梯形法的加速（续） 梯形法的加速（续） 龙贝格公式 Romberg 算法 例题选讲 例题选讲 2n+1 次代数精度的求积公式 举例（一） 高斯点与高斯公式 高斯点的确定 高斯点的确定 高斯公式代数精度 Gauss-Legendre 公式 几个简单的 G-L 公式 G-L公式的Gauss系数 更多 G-L 公式 一般区间上的 G-L 公式 举例（二） G-L 公式的余项 G-L 公式的余项（续） 稳定性和收敛性 G-L 公式的优缺点 Gauss-Chebyshev 公式 Gauss点、系数和余项 几个简单的 G-C 公式 举例（三） 思考题 一般Gauss公式的构造 插值型数值微分 余项公式 两点公式 三点公式（等距） 等距三点公式（续） 二阶导数的三点公式 二阶导数的四点公式 举例（一） 举例（一）续 n = 0: x0 = 0, ?0 = ? n = 1: ?0=?1= ?/2 n = 2: 两点G-C公式 三点G-C公式 ?0=?1= ?/3 例：用Gauss-Chebyshev求积公式计算下面的定积分，要求误差不超过 10-6。 解： 由余项公式得 五点G-C公式： 3.97746326051... mygcf.m 当 n=4 时 = 3.97746325878 试用 复合梯形公式、复合simpson公式 和 Romberg 算法 计算 I2： 2. 试用 Gauss-Chebyshev 求积公式 计算 I1 ; 试用 Gauss-Legendre 求积公式 计算 I2 。 你会得到什么样的结论？ 解： 分别取 f (x) = 1, x, x2, x3 ，使公式精确成立，得 例：构造形如 的Gauss型求积公式。 解得 问题：已知 f (x) 在节点 x0 , … , xn 上的函数值， 如何计算在这些节点处导数的近似值？ 方法：插值型数值微分 先构造出 f (x) 的插值多项式 pn(x) ，然后用 pn(x) 的导数来近似 f (x) 的导数。 P141-----(3.49) 多项式插值余项 两边求导得 ?x ? (x0 , xn) 两点公式（等距）： n = 1，节点 x0 , x1 ，步长 h = x1 - x0 所以 两点公式 等距三点公式： n = 2，步长 h ，节点 xi = x0 + ih ，i = 0, 1, 2 令 x = x0 + th ，得 变步长梯形法算法简单，编程方便 外推算法 P123-124 梯形法的加速－－龙贝格(Romberg)求积算法 但收敛速度较慢。 变步长梯形法中止依据 由 来计算 效果是否会更好些？ = (4*0.945690864 - 0.944513522)/3 = 0精确值：0.946083070367… 事实上 一般地，有 龙贝格公式 注：(1)上述加速技巧称为龙贝格求积算法； (2)每加速一次，计算精度提高二阶； (3)该技巧可以不断继续下去，但通常最多用到龙贝格公式。 更进一步，有 ? ? ① T1 =T0 (0) ② T2 =T0 (1) ③ S1