[理学]第3章第6节泰勒公式.ppt

* * * * * * * * * * 这里仅对公式 (iii) 进行验证, 其余 5 个请读者自理. 于是 * 从而有 * 估计式 * 例5 (1) 计算 e 的值,使其误差不超过 (2) 证明 e 是无理数. 解 三、 泰勒公式在近似计算中的应用 * 下证 e 是无理数. 这是因为 矛盾. 所以 e 是一个无理数. 那么　　　不是整数. 而由 (7) 式得到 整数　整数 整数, * 例6 用泰勒多项式逼近sinx，并求误差估计 解：因为 m=1, m=2 * m=3 o y x y = x y =sin x * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * §3.6 泰勒公式 多项式函数是最简单的函数.用多项 一、带有佩亚诺型余项的泰勒公式 三、在近似计算中的应用 二、带有拉格朗日型余项的泰勒公式 要内容,也是数学的研究课题之一. 式来逼近一般的函数是近似计算的重 * 引言 在理论分析和近似计算中，常希望能用一个简单 我们已经介绍了用线形函数（一次多项式）来近似 的函数来近似的表示一个比较复杂的函数。 表示函数的方法. * 不足: 问题: 1、精确度不高； 2、误差不能估计。 * 分析: 1.若在 点相交 2.若有相同的切线 3.若弯曲方向相同 * 考虑 且 * 且： ... (3) * 在 处可导, 由有限增量公式 当 充分小时, 可以由一次多项式 近似地代替, 其误差为 . 在许多情况下, 一、带有佩亚诺型余项的泰勒公式 是不够的, 而要考虑用较高次 误差仅为 的多项式来逼近 f , 使得误差更小, * 问题: 是否存在一个 n次多项式 使得 答案: 当 f (x)在点 x0 有n 阶导数时, 这样的 n 次多 设 则 有什么关系？ 项式是存在的. 现在来分析这样的多项式与 f (x) * 即 上式表明 Pn(x) 的各项系数是由其在点 x0 的各阶 设 f (x) 在 x0 处 n 阶可导. 如果 导数所确定的. * 即 则不难得到: * 为 f (x) 在点 x0 的 n 阶泰勒多项式, 称 为泰勒系数. 确实是我们所需要的多项式. 定理 6.8 设 f (x) 在 x = x0 处有n 阶导数，则 即 * 只需证 因为由（1）式， 则当 连续使用 n –1 次洛 必达法则, 得到 证 设 * 式称为 在点 处的带有佩亚诺型余项的 n 阶泰勒公式. 注1 附近满足 * 也不能说明 一定是 f (x) 的n 阶泰勒多项式. 处满足 (4) 但是当 n 1 时, 不是 f (x) 在点　　　的 n 阶泰勒多项式, 原因是 f (x) 在点 x = 0 的高阶导数(二阶和二阶以上)都不存 比如 在,所以无法构造 n 阶多项式. * 注3 可以证明对任意一个n 次多项式 存在 使得 这也就是说, 是逼近 的最佳 n 次多项式. 注2 若 f (x) 在点 x0 有n 阶导数, 则只有惟一的多 项式 ( 泰勒多项式 Tn(x) ) 满足: * 在以后的应用中, 公式 (3) 中的 x0 常被取作 0, 形 此式称为(带有佩亚诺型余项)的麦克劳林公式. 式变为 * 麦克劳林( Maclaurin,C. 1698-1746, 苏格兰 ) 泰勒 ( Taylor,B. 1685-1731, 英国 ) * 例1 验证下列公式 * 以上这些公式均为最基本的泰勒公式(麦克劳林 公式), 请务必牢记. * 于是 n 阶麦克劳林公式为 证 这里仅验证 1 和 6, 其余请自己验证. 验证 1 因为 所以 验证 6 设 则 * 故 * 例2 求 的麦克劳林公式, 并求 解 由例1 那么 由定理 6.8 的注 2, 可知上式就是 的麦克劳林 * 公式,由泰勒系数公式可知 于是得到 例3 求 在点 的泰勒公式. 解 * 解 应用带皮亚诺型余项的麦可劳林公式，有 下面这个例题是说明如何利用泰勒公式来求极限. * 求 解 因为 * 前面讲的带有佩亚诺型余项的泰勒公式实际上是 下面是一个定量形式的泰勒公式. 我们用泰勒多项式去替代函数, 其误差为 有限增量公式的一个推广,它只是定性地的告诉 泰勒公式 二、带有拉格朗日型余项的 * 定理6.9 (泰勒定理) 若函数 上存在直 到n 阶连续导函数, 在(a,b)内存在(n+1)阶导数, 则 或者 其中 阶泰勒多项式. * 证 设 不妨设 上连续, 在 上可导, 且 由柯西中值定理, 得 * 为 f (x) 在点 x0 的 n 阶拉格朗日型余项,公式 (5) 我们称 称为 f (x) 在点 x0 的带有拉格朗日型余项的 n 阶 注