[理学]第3章离散时间信号与系统的时域分析.ppt

将零起始状态 、 代入差分方程 得初始条件 再将初始条件代入 得 解得 则系统的零状态响应为 3．单位取样响应 零状态响应 可采用经典方法求解，但求解过程比较繁琐，且不利于计算机编程实现，所以，在实践中较少应用 求零状态响应常用的方法是卷积和。对于线性时不变系统 其中， 称为单位取样响应，表示系统的起始状态为零时， 时系统产生的响应。可以 用表征一个线性 激励信号 时不变系统。 要利用卷积和分析系统的零状态响应，首先应求解系统的单位取样响应 ，常用差分方程的经典求解法求 【例3-4-5】已知某离散时间LTI系统的差分方程为 求系统的单位取样响应 解：系统的齐次方程为 ，特征方程为 特征根为 ， 。齐次解为 （1）暂时不考虑输入项 的作用，只考虑由 引起的单位取样响应 。 系统的激励为 ，当 时， ， 即系统差分方程的 右端为零。所以，系统的单位取样响应与差分方程的齐次解有相同的形式 ， 起始状态是 ，将起始状态和 代入差分方程 得 再将初始条件 、 代入 得 解得 所以 （2）考虑输入项 引起的单位取样响应 ，因为系统 是线性时不变的，所以 （3）将 与 叠加，可得系统的单位取样响应 第6章将介绍基于 变换的单位取样响应 的求解方法， 该方法更加简便。 3.5 卷积和与解卷积 线性时不变系统 本节将详细介绍卷积和的计算过程，并简要说明卷积逆运算—解卷积及其应用。 3.5.1 卷积和 离散序列的卷积可以通过画图来辅助计算，称为图解法求卷积。图解法求卷积的步骤如下： 反折成 （1）反折。 在坐标轴 上画出序列 和 ，然后以纵轴为 对称轴将序列 。 （2）移位。 将 移位 个样点得到 ，右移 ，左移 （3）相乘。将 与 相同位置的样点值相乘。 （4）相加。把所有乘积累加起来，得 。 （5）重复（2）、（3）、（4）步骤，可计算 的所有样点。 值得注意的是，步骤（1）、（2）中，对 与 的选择具有 任意性。 既可由 反折、移位获得 ，也可由 反折、 。 移位获得 图解法计算序列的卷积和，一般不是逐个样点计算 ，而是分几个区间分别考虑。 【例3-5-1】已知 和 求 与 的卷积。 （5）综合以上结果，得 如图所示。 3.3.1 离散时间系统的描述 差分方程是描述离散时间系统的常用数学工具,下面举例说明。 【例3-3-2】某种植物第一天长高3cm，之后每天新长的高度是前一天的1/2，建立描述该植物高度的方程。 解：设第 、 、 天后植物的高度分别是 、 、 ， 则 即 或 即 这是一个二阶常系统前向差分方程，前向差分方程与后向差分方程没有本质的区别。【例3-3-2】也可以写成后向差分方程的形式，即 或 考虑到离散时间系统的输入多数是因果序列，即 ， 所以，在系统分析中一般写成后向差分方程的形式。 差分方程不仅描述了离散时间系统，还可以用于近似处理微分方程的问题，下图给出了低通 网络，它是一个连续时间系统，其微分方程为 如果输入信号 不能用解析表达式描述，我们无法利用第2章 所介绍的方法求解微分方程 这时，可以用差分方程近似微分方程，借助数值计算的方法来求解微分方程。 以周期 对输入信号 等间隔采样，得到 ，记作 当采样周期 足够小时，信号的差分可近似信号的微分，即 则微分方程近似为 整理，得 离散时间系统差分方程的基本数学运算包括延时（移位）、与标量相乘、序列相加三种运算，也即为离散时间系统可用延时（移位）器、标量乘法器、序列加法来实现。其方框图和流程图两种图形表示，分别如下图所示。 在第6章我们将发现，时域的单位延迟相当于 域乘上 所以，单位延迟的方框图和流程图常用 替代 ，如下图所示。 差分方程描述的离散时间系统均可以用方框图或流程图形式来表示。如差分方程 可用下图描述。 反之，由方框图或流程图也可以写出离散时间系统的差分方程。 3.3.2 线性时不变系统 离散时间线性系统同时满足叠加性和均匀性，系统对输入的线性组合所产生的响应是原来各个输入单独产生的响应同样的线性组合 【例3-3-3】判断 所描述的系统是否线性系统。 解：由于 ， 因此 故该系统不是线性系统。 1．线性系统 2．时不变系统 如果系统的响应与激励施加于系统的时刻无关，则称该系统是时不变系统。 若 则 ， 为任意整数 也