[理学]第5节 行列式的性质.ppt

一、行列式的性质 二、应用举例 三、小结 * §1.5 行列式的性质 行列式的性质 主要内容 小结、思考题 应用举例 由n阶行列式的定义可知, 当n较大时, 用定义计算行列式运算量很大. 例如, 计算一个20阶的行列式, 需作19?20!次乘法, 若用每秒运算亿万次的电脑, 也要运算一千年才行！ 因此如何有效地计算行列式，这是我们要解决的 一个重要课题． 为了解决这一问题, 需先研究行列式的性质. 本节主要介绍行列式的基本性质, 运用这些性质不仅可以简化行列式的计算, 而且对行列式的理论研究也很重要． 性质1 行列式与它的转置行列式相等. 行列式 称为行列式 的转置行列式. 记 证明 按定义 又因为行列式D可表示为 故 证毕 性质2 互换行列式的两行(列),行列式变号. 证明 设行列式 说明 行列式中行与列具有同等的地位,因此行列 式的性质凡是对行成立的对列也同样成立. 是由行列式 变换 两行得到的. 即当 时, 当 时, 于是 则有 故 证毕 例如 推论 如果行列式有两行(列)完全相同，则此行列式为零. 证明 互换相同的两行，有 性质3 行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同一数 ，等于用数 乘此行列式. 推论 行列式的某一行(列)中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面． 性质4　行列式中如果有两行(列)元素成比例，则此行列式为零． 证明 性质5　若行列式的某一列(行)的元素都是两数之和, 则D等于下列两个行列式之和： 例如 性质6 把行列式的某一列(行)的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去, 行列式不变． 例如 性质2、6、3介绍了行列式关于行和列的三种运算,在本教案中分别称为交换运算、线性运算、数乘运算, 它们分别记为 交换运算 行交换 列交换 线性运算 行运算 列运算 数乘运算 行运算 列运算 例1 计算行列式常用方法：利用运算　　　把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值． 解 例2 计算 阶行列式 解 将第 都加到第一列得 例3 计算 解 例4 证明 证明 例 计算下列行列式 例5 计算2n阶行列式 其中未写出的元素为0 . 解 把D2n中的第2n 行依次与第2n–1 行、··· 、第2行对调(作2n–1 次相邻对换), 再把第2n列依次与第2n–1列、··· 、第2列对调, 得 *