[理学]第5讲 无约束优化.ppt

例：对边长为3m的正方形铁板，在四个角剪去相等的正方形以制成方形无盖水槽，如何剪使得水槽的容积最大？ 第1节 常用的有哪些信誉好的足球投注网站算法结构 一、收敛性概念： 考虑（fs） 设迭代算法产生点列{x(k)} ?S. 1. 理想的收敛性：设x*∈S是g.opt.当x*∈ {x(k)} 或 x(k) ≠ x*， ?k，满足 时，称算法收敛到最优解 x*。 由于非线性规划问题的复杂性，实用中建立下列收敛性概念 ： 2. 实用收敛性：定义解集 S* = { x | x 具有某种性质 } 例：S*={x|x---g.opt} S*={x|x---l.opt} S*={x| ?f(x)=0} S*={x| ? f(x)≤β } (β为给定的实数，称为阈值) 一、收敛性概念： 考虑（fs）2.实用收敛性（续） ▲收敛性：设解集S*≠ ，{x(k)}为算法产生的点列。下列情况之一成立时，称算法收敛： 1°?x(k) ∈S*; 2°x(k) S*， ?k，{X(k)}任意极限点∈S* 。 ▲全局收敛：对任意初始点x(1),算法均收敛。 局部收敛：当x(1) 充分接近解x*时，算法才收敛。 二、收敛速度 设算法产生点列{x(k)},收敛到解x*,且x(k)≠x*， ?k， 1.线性收敛： 当k充分大时成立。 2.超线性收敛： 3.二阶收敛： 二、收敛速度（续） 定理：设算法点列{x(k)}超线性收敛于x*,且x(k)≠x*， ?k，那么 这个定理表明可以用 ||x(k+1) –x(k) ||来代替|| x(k) –x* ||作为终止条件 证明只需注意 | ||x(k+1) –x* || -|| x(k) –x* || |≤ ||x(k+1) –x(k) || ≤ ||x(k+1) –x* || +|| x(k) –x* || ，除以|| x(k) –x* || 并令k→∞，利用超线性收敛定义可得结果。 三、二次终结性 ▲一个算法用于解正定二次函数的无约束极小时，有限步迭代可达最优解，则称该算法具有二次终结性。 ▲二次终结性=共轭方向+精确一维有哪些信誉好的足球投注网站。 ▲共轭方向 · 定义： 设 An×n 对称正定，d (1),d (2) ∈Rn , d (1) ≠0，d(2) ≠0，满足d(1)TAd(2)=0, 称d(1),d(2) 关于矩阵A共轭。 · 共轭向量组：d(1),d(2), …,d(m) ∈Rn 均非零，满足d(i)TAd(j)=0,(i≠j) . 三、二次终结性（续） · 当A=I(单位矩阵)时， d(1)TAd(2)= d(1)Td(2)=0，即正交关系。 · 当d(1),d(2), …,d(m) 关于正定矩阵A两两共轭时， d(1),d(2), …,d(m) 线性无关。 proof: 设d= ?1 d(1)+ ?2d(2)+…+ ?md(m) =0， ?j=1,2, …,m， d(j)TAd= ? jd(j)TAd(j)=0 ∵ d(j)TAd(j) 0，故?j =0，即线性无关。 超线性收敛和二次终结性常用来讨论算法的优点。 四、下降算法模型 考虑（fs） 常用一种线性有哪些信誉好的足球投注网站的方式来求解：迭代中从一点出发沿下降可行方向找一个新的、性质有改善的点。 △下降方向 ： 设 ∈S，d ∈Rn,d≠0,若存在 ，使 ，称d 为 在 点的下降方向。 四、下降算法模型（续） △可行方向：设 ∈S，d∈Rn,d≠0,若存在 ，使 ，称d 为 点的可行方向。 同时满足上述两个性质的方向称下降可行方向。 我们主要介绍无约束最优化问题： 给定下单峰区间